93
Demostración didáctica del teorema de flujo tubular en
la solución de ecuaciones diferenciales autónomas para
modelar contaminantes ambientales
rEsumEn
El propósito del estudio fue la demostración didáctica del teo-
rema del ujo tubular en solución de ecuaciones diferenciales
autónomas para modelar contaminantes ambientales. Se aplicó
métodos de investigación con enfoque cuantitativo, teóricos
como el analítico-sintético, así como el inductivo-deductivo.
La relación establecida fue entre el campo vectorial, teoría cua-
litativa de las ecuaciones diferenciales autónomas, conjugación
topológica y foliaciones. Se demostró la conjugación topológica
entre un campo vectorial diferenciable y un campo constante
no nulo. El teorema del ujo tubular demostró el comporta-
miento de las soluciones del sistema de trayectorias que conje-
turan sobre la vecindad de un punto regular, es decir, un punto
que no anula al campo vectorial el cual dene la ecuación dife-
rencial autónoma. La demostración didáctica sobre el
teorema
del ujo tubular proporcionó el comportamiento geométrico local
de las órbitas de un campo vectorial en la vecindad de un punto
regular.
Palabras clave: teorema del ujo tubular, ecuaciones diferenciales
autónomas no lineales, sección transversal, punto regular,
conjugación topológica, campo vectorial
aBstraCt
e purpose of the study was the didactic demonstration of the
tubular ow theorem in solving autonomous dierential equations
to model environmental pollutants. We applied research methods
with a quantitative approach, theoretical as analytical-synthetic, as
well as inductive-deductive. e relationship established was be-
tween the vector eld, qualitative theory of autonomous dierential
equations, topological conjugation and foliations. e topological
conjugation between a dierentiable vector eld and a nonzero
constant eld was demonstrated. e tubular ow theorem showed
the behavior of the system solutions of trajectories that conjecture
about the neighborhood of a regular point, that is, a point that
does not cancel the vector eld which denes the autonomous di-
erential equation. e didactic demonstration of the tubular ow
theorem gave the local geometric behavior of the orbits of a vector
eld in the vicinity of a regular point.
Key words:tubular ow theorem, nonlinear autonomous dieren-
tial equations, cross section, regular point, topological conjugation,
vector eld
Didactic demostration of the tubular ow theorem in the solution of
autonomous dierential equations to model environmental pollutants
Recibido: setiembre 12 del 2018 | Revisado: noviembre 21 del 2018 | Aceptado: diciembre 13 del 2018
https://doi.org/10.24265/campus.2019.v24n27.08
L E. H M
H E. N M
G A P
1 Escuela Profesional de Cien-
cias Físico-Matemática. Uni-
versidad Nacional del Altipla-
no (UNA). Puno, Perú.
luzhuanchi@gmail.com
2 Programa de Doctorado.
Ciencia, Tecnología y Medio
Ambiente. Escuela de Posgra-
do. Universidad Nacional del
Altiplano (UNA). Puno, Perú.
henryenm@hotmal.com
3 Centro de Investigaciones Avan-
zadas y Formación Superior en
Educación, Salud y Medio Am-
biente ¨AMTAWI¨. Puno, Perú.
george.argota@gmail.com
| C | L, | V. XXIV | N. 27 | PP. - | - | | -
© Los autores. Este artículo es publicado por la Revista Campus de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad
de San Martín de Porres. Este artículo se distribuye en los términos de la Licencia Creative Commons Atribución No-comercial
– Compartir-Igual 4.0 Internacional (https://creativecommons.org/licenses/ CC-BY), que permite el uso no comercial,
distribución y reproducción en cualquier medio siempre que la obra original sea debidamente citada. Para uso comercial
contactar a: revistacampus@usmp.pe.
94
Introducción
Los enfoques ecotoxicológicos de pre-
dicción de riesgo permiten proporcionar
información inestimable sobre la calidad
de cualquier ecosistema acuático (Mou-
quet et al., 2015; Petchey et al., 2015) co-
brando mayor importancia cuando algu-
nos elementos pueden quedar retenidos;
y luego, estar biodisponible (Hommen et
al., 2010; Brown et al., 2017).
La información de datos sobre la cali-
dad de los ecosistemas acuáticos permite
su modelación (Yanagimoto, 2003) y de
esta forma, establecer control de estrate-
gias relacionada con la evolución de me-
canismos en el tiempo (Ali, Hossain &
Kumar, 2017).
Biswas, Rahman & Haque (2016)
estudiaron los impactos potenciales del
cambio climático global en Bangladesh
mientras que Biswas (2014) desarrolló
un modelo matemático para describir la
transmisión del virus Nipah. Por su par-
te, Schminder & Gårdhagen (2018) han
aplicado la modelación matemática para
predecir el ambiente térmico en cabinas
de operación de aeronaves en tierra y
vuelo.
Sin embargo, el entendimiento de la
movilidad ambiental de un punto de re-
ferencia a otro ha sido interpretado me-
diante análisis de signicación estadísti-
ca aunque, determinados teoremas con
ecuaciones diferenciales podrían justi-
car dicho trayecto.
Sotomayor (1979), Gonzáles (2001)
y Benazic (2007) mencionan que todo
sistema autónomo X
0
= f (x), existe un
cambio de coordenadas local en un en-
torno de cualquier punto regular que lo
transforma en el sistema, pudiendo ser de
la siguiente forma:
Sea todo sistema autónomo X
0
= f (x),
existe un cambio de coordenadas local en
un entorno de cualquier punto regular
que lo transforma en el sistema, pudien-
do ser de la siguiente forma:
f
1
´= 1
f
2
´= 0
.
.
.
f
n
´= 0
En particular, las intersecciones de
las órbitas con dicho entorno son difeo-
morfas a una colección de segmentos
paralelos. Para reconocer de forma ini-
cial la modelación del plomo biodispo-
nible (movilidad y persistencia entre las
estaciones), hubo que orientarse en las
ecuaciones diferenciales ordinarias en el
espacio R
n
donde se planteó, el conoci-
miento cualitativo satisfactorio del com-
portamiento geométrico local de las ór-
bitas de un campo vectorial diferenciable
en la vecindad de un punto regular f (x) ≠
0. Dado el campo vectorial continúo f, el
problema valor inicial asociado es:
x´ = f(x)
x(0) = x
0
Con el campo vectorial f
1
: R
n
→R
n
cam-
po constante f
1
(x) = (1,000…0) o cons-
tante el problema valor inicial asociado
se expresa como:
x´ = (1,000…0)
x(0) = p
Se obtiene una conjugación topológica
entre campos f y f
1
.
En el campo vectorial, sea un conjunto
abierto U ⊆ R
n
, se menciona que: f, es
campo vectorial a una aplicación (Bena-
zic, 2007; García, 2007):
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
95
f : U ⊆ R
n
→ R
m
x
̄
→ f (x
̄
) = (f
1
(x
̄
), f
2
(x
̄
), f
3
(x
̄
),….. f
m
(x
̄
))
• dónde:
f : U ⊆ R
n
→ R con i = 1,…, m son lla-
madas funciones del campo f.
Sea un conjunto abierto: U ⊆ R
n
, un
campo vectorial f ∈ C
k
(U)
• dónde
k ≥ 1, es una función:
f : U →R
n
x
̄
→ f (x
̄
) = (f
1
(x
̄
), f
2
(x
̄
), f
3
(x
̄
),….. f
m
(x
̄
))
La fórmula anterior satisface las siguientes
condiciones que representan la Figura 1:
f
i
: U → R son funciones de clase C
k
en
U, ∀≤ i ≤ n (f
i:
son llamadas funciones
coordenadas del campo f). Si x ∈ U, en-
tonces f(x) ∈ R
n
, es un vector donde
el punto de aplicación es, x.
Figura 1. Campo vectorial
La gura describe un campo vectorial
que asocia a cada x ∈ U, determinada f(x)
∈ R
n
de modo que, la forma de visualizar
un campo vectorial es seleccionar la x ∈
U ⊆ R
n
.
Posteriormente, es requerido localizar
el punto f(x) ∈ R
n
donde es de interés
gracar el conjunto imagen del campo
vectorial (Figura 2), la cual se obtiene
mediante la unión de una echa que ini-
cia en x y termina en f (x).
Figura 2. Conjunto de imagen del campo
vectorial
Asimismo, sea A ∈ R
n x n
, el ujo asocia-
do al campo lineal A (o equivalentemente
a la ecuación diferencial: x´ = Ax), en-
tonces la misma puede estar dada por: φ
A: R x R
n
→ R
n
, de modo que, para todo
(t, x) ∈ R x R
n
se tiene � A (t, x) = e
tA
x.
De igual modo, sea el abierto: D ⊆ R
n
, la
aplicación φ: D → R
n
de clase C
1
se dice
que, es ujo asociado (Figura 3a y 3b), si:
Figura 3a. Flujo asociado cuando: φ
(0,x) = x
Figura 3b. Flujo asociado cuando: φ (t +
s,x) = φ (t, φ(s,x))
Sea el abierto: U ⊆ R
n
y f: U → R
n
un
campo vectorial de clase C
k
, k > 0. Dado
el problema de valor inicial P.V.I.
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
D
96
x̄ = f (x̄ )
x(0) = x
0
Cuya solución máxima es: φ
x
: I
x
→ U
R
n
. De igual modo, sean los conjuntos abier-
tos:
U
1
, U
2
⊆
R
n
, f
1
∈ C
k1
(U
1
) f
2
ϵ C
k1
(U
2
)
Dónde: φ
x
: D
1
→ U
1
, φ
2
: D
2
→ U
2
, los
ujos generados por los campos f
1
y f
2
,
se dice que: f
1
y f
2
son topológicamente
conjugados, si existe un homeorsmo (h:
U
1
→ U
2
), llamado conjugado topológi-
ca, tal que: h(φ
1
(t,p)) = φ
2
(
t
,
h
(p)) para
todo (t,p) ϵ D
1
Se dice que: f
1
y f
2
son C
r
conjugados
(donde r ≤ min {k
1
, k
2
}) si existen un di-
feomosmo:
h : U
1
→ U
2
de clase C
r
llamado conjuga-
ción de clase C
r
, tal que:
h
´(p) = f
2
(h(p))
para todo: t ∈ D
1
Se analizó el teorema de ujo tubu-
lar
proveyendo de deniciones, lemas,
proposiciones donde, a partir de cambios
de coordenadas en una vecindad sobre
un punto que no es singularidad (punto
regular), cualitativamente las soluciones
son equivalentes según lo planteado por
Palis (1978), Sotomayor (1979), Doering
(2005) y Benazic (2007) para una familia
de líneas horizontales en un plano.
Asimismo, el teorema del ujo tubular
fue analizado para la solución de ecuacio-
nes diferenciales autónomas no lineales
considerando lo siguiente,
Sean f
1
y f
2
denidos por:
f
1
: R
n
→ R
n
(x,y) → f
1
(x,y) = (x, - y)
f
2
: R
n
→ R
n
(x,y) → f
2
(x,y) = (x, - 4y
3
, - y)
Claramente: f
1
, f
2
ϵ C
∞
(R
2
). Sea:
h: R
n
→ R
n
(x,y) = h(x,y) = (x + y
3
, y)
Entonces: h, es una conjugación de
clase C
∞
entre f
1
, f
2
. Solución será valorar
que: φ
1
y φ
2
asociados a los campos f
1
y
f
2
, respectivamente (f
1
: R
n
→ R
n
)
(x,y) → f
1
(x,y) = (x, - y)
f
1
1
(x,y) = x
dx / dt = x
∫ dx / x = ∫ dt
ln x = t + k
1
x = e
t
C
1
φ
1
(x,y)
= e
t
C
1
f
2
: R
2
→ R
2
(x,y) → f
1
(x,y) = (x, - y)
f
1
2
(x, y) = - y
dx / dt = - y
∫ dx / y = - ∫ dt
ln y = - (t + k
2
)
y = e
t
C
2
φ
2
(x,y)
= e
-t
C
2
f
2
: R
2
→ R
2
(x,y) → f
2
(x,y) = (x - 4y
3
, - y)
f
1
2
(x, y) = x - 4y
3
… (1)
Reemplazando: en (1)
dx / dt = x – 4 (e
-t
C
4
)
3
… (**)
f
2
2
(x, y) = - y
dx / dt = - y
∫ dx / y = - ∫ dt
ln y = - (t + k
4
)
y = e
-t
C
4
φ
2
(x,y)
= e
-t
C
4
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
97
Desarrollando la solución general: X
g
=
X
c
+ X
p
, se obtiene complementaria: X
c
de (**)
dx / dt = x
∫ dx / x = ∫ dt
ln x = t + k
3
)
x = e
-t
C
3
φ
1
(x,y)
= e
-t
C
3
Resolviendo solución particular: X
p
don-
de x = ue
-t
… (2) se tiene: X
p
´
= u´e
t
+ ue
t,
reemplazando en (**):
u´e
t
+ ue
t
- ue
-t
= - 4e
-3t
C
4
3
u = e
-4t
C
4
3
Reemplazando en (2): x = ue
t
, la solución
particular: x = e
-4t
e
t
C
4
3
=
u = e
-3t
C
4
3
donde
reemplazamos en la solución general: X
g
= e
t
C
3
+ e
-3t
C
4
3
φ
2
(x,y)
= ((e
t
C
3
+ e
-3t
C
4
3
) e
t
C
3
φ
1
: R x R
2
→ R
2
(t, x, y) → φ
1
(t, x, y) = (xe
t
, ye
-t
)
φ
2
: R x R
2
→ R
2
(t, x, y) → φ
2
(t, x, y) = (xe
t
+ y
3
e
-3t
, ye
-t
)
La Figura 4 muestra la interpretación
geométrica de conjugaciones entre cam-
po f
1
y f
2
del ejemplo aplicado el com-
portamiento que existe.
Figura 4. Conjugación entre el campo f
1
y f
2
Luego,
h(φ
1
(t, x, y) = h(xe
t
, ye
-t
)
= (xe
t
+ y
3
e
-3t
, ye
-t
)
Además,
φ
2
(t, h (x, y)) = φ
2
(t, x + y
3
, y)
= (xe
t
+ y
3
e
-3t
, ye
-t
)
Se concluye que:
h(φ
1
(t, x, y)) = φ
2
(t, h (x, y))
Denición: Dado un campo vectorial
continuo denido en U ⊆ R
n
, la ecuación
diferencial de tipo ordinaria autónoma es:
x̄ = f (x̄) → dx / dt = f (x̄)
Entonces: f (x̄) = (f
1
(x̄), f
2
(x̄), f
3
(x̄),…
f
n
(x̄)), donde i = 1, 2, …n
f
i
: U ⊆ R
n
→
R
x̄ → f
i
(x̄)
x̄
1
´(t) = f
1
(x
1
, x
2
,…x
n
)
x̄
2
´(t) = f
2
(x
1
, x
2
,…x
n
)
. .
. .
x̄
n
´(t) = f
n
(x
1
, x
2
,…x
n
)
Pero: f, no depende explícitamente del
parámetro t
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
D
98
• Ecuación diferencial no autóno-
ma
Se puede decir que, una ecuación
diferencial ordinaria es, no autónoma sí,
depende explícitamente del parámetro t.
Signica que, g (t, x) en lo cual, la ecua-
ción diferencial ordinaria es de la siguien-
te forma:
x´ = g(t, x)
• No es autónoma cuando g: R x
U R x R
n
→ R^n (es un cam-
po vectorial)
Una ecuación diferencial ordinaria de
primer orden es, no autónoma sí, se pue-
de expresar en la forma:
f : I x R
n
→ R
n
x̄´ = f (t, x̄)
f
i
: D ⊆ R
n+1
→ R
n
(t, x
1
, x
2
, …x
n
) → f
i
: (t, x
1
, x
2
, …x
n
)
x̄
1
´ (t) = f
1
(t, x
1
, x
2
, …x
n
)
x̄
2
´ (t) = f
2
(t, x
1
, x
2
, …x
n
)
. .
. .
x̄
n
´ (t) = f
n
(t, x
1
, x
2
, …x
n
)
Donde t: es una variable independiente
que denotara al tiempo
x
i
: variables que dependen de t y que ad-
quieren valores reales
f
i
: son funciones reales denidas en un
subconjunto D de R
n+1
El propósito del estudio fue la de-
mostración didáctica del teorema del
ujo tubular en solución de ecuacio
-
nes diferenciales autónomas.
Método
Se analizó el teorema de ujo tubu-
lar
proveyendo de deniciones, lemas,
proposiciones donde a partir de cambios
de coordenadas en una vecindad sobre
un punto que no es singularidad (punto
regular), cualitativamente las soluciones
son equivalentes según lo planteado por
Palis (1978), Sotomayor (1979), Doering
(2005) y Benazic (2007) para una familia
de líneas horizontales en un plano.
Resultados y discusión
Previo a demostrar el teorema del ujo
tubular se utilizaron resultados obtenidos,
los cuales fueron referidos tanto a la de
-
nición de punto regular, homeomorsmo,
difeomorsmo, inmersión, sección trans
-
versal, proposición como del teorema de
la función inversa, donde se utilizaron
para reducir el teorema del ujo tubular
de una vecindad arbitraria. Como p es un
punto regular de un campo f, entonces en
una vecindad sucientemente pequeña de
p, se puede direccionar las orbitas de f.
Seguidamente, el símbolo <v1,
v2,…v
m
> denota al subespacio vecto-
rial de R
m
generado por los vectores {v1,
v2,…v
m
}
• Denición: Punto regular
Se dice que: p ϵ U f: ⊆ R
n
→ R
n
Un campo vectorial, es un punto regular
del campo f si f (p) =
¯
0
• Denición
:
Homeomorsmo
Un homeomorsmo del conjunto X R
n
sobre el conjunto: Y R
n
, es una
bisec-
ción
continua de f: X → Y, cuya inversa f
-1
: Y → X (igualmente es continua) (La-
ges, 2004).
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
99
• Denición: Difeomorsmo
Sean: X, Y conjuntos abiertos de R
n
, X,
Y ⊆
R
n
. Sea
f: X → Y
es un difeo-
morsmo sí, f es
biyectiva derivable y f
-1
también es derivable (Lages, 2004).
• Denición: Inmersión
Sea U ⊆ R
m
un conjunto abierto y f: U →
R
n
una función diferenciable en U, se dice
que: f es una inmersión de U en R
n
sí y
solo si, f´(x) ∈ L (R
m
; R
n
) es inyectiva, ∀x
∈ U (Palis, 1978).
• Denición: Sección
T
ransv
ersal
Sea U ⊆ R
m
un conjunto abierto, f ∈
C
k
(U) y p ∈ U, una sección transversal
local de clase C
r
al campo f en el punto p,
es una función ψ : V
n-1
→ U de clase C
r
que satisface las siguientes propiedades:
1
1. ψ: es una inmersión de V
n-1
en U
2. ψ: V
n-1
→
ψ: [V
n-1
] = ∑ (es un
homeomorsmo)
3. p ϵ ∑
4. ψ ´(x) [R
n-1
] < f (ψ(x))> = R
n
(x)
.
Para todo x ϵ V
n-1
• Proposición:
Si U ⊆ R
n
es un conjunto abierto, f ϵ C
k
(U) y p ∈ U, es un punto regular de f,
entonces una sección transversal local ψ
de clase C
∞
al campo f en el punto p tal
que ψ(0) = p
• Teorema de la f
unción
inversa:
Sea U ⊆ R
abierto, f: U ⊆
R
n
→
R
n
función
de clase C
k
tal que, f
‘
(a)
∈
GL(R
n
)
donde a ∈ U, entonces existen
V
a
⊆ U y
W
f
(a)
⊆ R
n
conjunto abierto
con, a ∈ V
a
, f (a) W
(a)
tales que, f V
a
es,
1 ψ
=
ψ : V
n−1
→
ψ[V
n
−
1
]
es un homeomorsmo
un
difeomorsmo
de clase C
k
(Lages,
2006; Cortés & Aganis, 2012).
La Figura 5 muestra la interpretación
geométrica del teorema de la función in-
versa donde se obtiene que, para a en
una vecindad V
a
⊆ U del origen, se puede
invertir f a f
-1
. El teorema de la función
inversa arma que, si f es de clase C
k
≥
0, con la matriz jacobiano es diferente de
cero, entonces f, es localmente un difeo-
morsmo.
Figura 5. Geométricamente teorema de
la función inversa
Para la discusión sobre el teorema del
ujo tubular puede indicarse lo siguiente:
Sea U ⊆ R
n
abierto, f ∈ C
k
(U) y p ∈
U un punto regular, entonces dada una
sección
transversal local ψ: V1 →
∑ de
clase C
∞
a en p con 0 f ∈ V
1
y ψ (0) = p,
entonces existe una vecindad W
p
de p en
el conjunto abierto U y un
difeomors-
mo
de clase C
r
.
h : Wp → I
∈
(0) x B
Dónde: I
∈
(0) es un intervalo maxi mal,
∈ > 0 y B, es una bola abierta en R
n-1
centrada en el origen (Fernández, 2010-
2011):
h [∑ ∩ W
p
] = {0} x B
h es, una conjugación de clase C
k
entre f |
W
p
y el campo constante:
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
D
100
f
1
:
I
α
(0) × B →
R
n
y f
1
= (1,0,…,0)
La Figura 6 muestra la interpretación
geométrica del ujo tubular.
Figura 6. Flujo tubular
Para la demostración y análisis del
teorema de ujo tubular se plantea lo si
-
guiente:
Sea, φ: D
f
→ U, el ujo de f se denota
por: D
f
=
{(t, u) ∈ R x V
1
; (t, ψ (u)) ∈ D}
⊆ R x R
n-1
Luego se dene la
función, donde
f es de
clase C
k
:
f : D
f
→ U
(t, u) → f (t, u) = φ (t, ψ (u))
La Figura 7 muestra geométricamente
la función f, transforma líneas horizonta-
les en orbitas del campo f
que en el ins-
tante 0 pasan por sección
transversal.
Figura 7. Transformación del ujo tubular
Sea f (0,
¯
0) = φ (0, p) = p, se probara´ que
f es un difeomorsmo local en: (0,
¯
0) ∈
R x R
n-1
Por el teorema de la
función
inversa se-
ría suciente probar que: F ´(0,
¯
0) es un
isomorsmo.
Usando las notaciones del análisis en va-
rias variables reales se tiene:
F ´(0,
¯
0) = [∂f / ∂t (0,
¯
0), ∂f / ∂u
1
(0,
¯
0),…
∂f / ∂u
n-1
(0,
¯
0)] ∈ R
nxn
…(*)
• Se obtiene I:
∂f / ∂t (t,
¯
u) = ∂f / ∂t (t, ψ (
¯
u) = ∂φ / ∂t (t,
ψ
2
(
¯
u),… t, ψ
n
(
¯
u)
∂f / ∂t (t,
¯
u) = ∂f / ∂t (t, ψ (
¯
u) = ∂φ / ∂t (t,
ψ
2
(
¯
u), t, ψ
2
(
¯
u))
∂f / ∂t (0,
¯
0), = ∂φ / ∂t (t, ψ
1
(
¯
0), t, ψ
2
(0),…t, ψ
n
(0))
∂f / ∂t (0,
¯
0), = ∂φ / ∂t (t, ψ (
¯
0))
∂f / ∂t (0,
¯
0), = ∂φ / ∂t (0, p)
∂f / ∂t (0,
¯
0), = f (ψ (0, p) = f (p) ≠ 0
• Se obtiene II:
∂f / ∂u
1
(t,
¯
u), = ∂f / ∂u
n-1
= ∂f / ∂u
j
(t,
¯
u)
∂f / ∂u
j
(t, ψ
1
(
¯
u), t, ψ
2
(
¯
u),…, t, ψ
n
(
¯
u))
∂f / ∂u
j
(t,
¯
u) = ∂φ / ∂u
j
(t, ψ
1
(
¯
u), t, ψ
2
(
¯
u),…, t, ψ
n
(
¯
u))
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ∂φ / ∂x
1
(0, p). ∂x
1
/ ∂u
j
(
¯
0) + ∂φ / ∂x
2
(0, p). ∂x
2
/ ∂u
j
(
¯
0) + … ∂φ
/ ∂x
n
(0, p). ∂x
1
/ ∂u
j
(
¯
0)…(**)
• Pero, φ (0,
¯
x) = x̄
φ (0,
¯
x) = (x
1
, x
2
,….x
i
,…x
n
)
φ (0,
¯
x) = (x
1
e
1
+ x
2
e
2
,…+ x
i
e
1
.x
i
+ x
n
e
n
)
∂φ / ∂x
i
(0,
¯
x) = ∂ / ∂x
i
(x
1
e
1
+ x
2
e
2
,…+
x
i
e
1
.x
i
+ x
n
e
n
)
∂φ / ∂x
i
(0,
¯
x) = ∂ / ∂x
i
(x
1
e
1
+ ∂ / ∂x
i
(x
2
e
2
)
+ ... + ∂ / ∂x
i
(x
i
e
i
) + ... + ∂ / ∂x
i
(x
n
e
n
)
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
101
∂φ / ∂x
i
(0,
¯
x) =
¯
0 +
¯
0 + …
¯
e
i
+ … +
¯
0
• Se reduce que, ∂φ / ∂x
i
(0,
¯
x) = e
1
,
implica que, ∂φ / ∂x
i
(0,
¯
0) = e
i
; ∀
1 ≤ i≤ n-1 reemplazando en (**)
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ∂ψ
1
/ ∂u
j
(
¯
0) e
1
+ ∂ψ
2
/ ∂u
j
(
¯
0) e
2
+ … ∂ψ
n
/ ∂u
j
(
¯
0) e
n
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ∂ψ
1
/ ∂u
j
(
¯
0) (1,0,…0) +
∂ψ
2
/ ∂u
j
(
¯
0) (0,1,...0) + ... + ∂ψ
n
/ ∂u
j
(
¯
0)
(0,0,...1)
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = (∂ψ
1
/ ∂u
j
((
¯
0)0,0,…0)
+ ∂ψ
2
/ ∂u
j
(0,(
¯
0),...0)) + ∂ψ
n
/ ∂u
j
(0,0,...,(
¯
0))
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ∂ψ
1
/ ∂u
j
(
¯
0), ∂ψ
2
/ ∂u
j
(
¯
0),...∂ψ
n
/ ∂u
j
(
¯
0)
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ∂ψ
1
/ ∂u
j
(
¯
0)
∂f / ∂u
j
(0,
¯
0) = ψ´(
¯
0) (e
i
), donde 1 ≤ i ≤
n -1
• Luego remplazando en (*)
F´(0,
¯
0) = [f (p), ψ´(
¯
0)
1
,… ψ´(
¯
0)e
n-1
]
Como ψ = (ψ
1
,… ψ
n
): V → ∑, es una
sección transversal, se cumple:
[ψ´ (0) [R
0
n-1
]
⊕
< f (p) > = R
n.
Luego,
F´(0,
¯
0) ∈ GL (R
n
)
Por el teorema de la función inversa,
existe: ∈ = ∈(p) > 0, existe B ⊆ R
n-1
bola
abierta centrada en 0 ∈ R
n-1
existe W
p
vencidad abierta de p en U, tal que: F | I
∈
(0) x B. I
∈
(0) x B → W
p
, es un difemor-
smo de clase C
k
.
• Se considera:
h = (F | I
∈
(0) x B)
-1
: W
p
→ I
∈
(0) x B
como (0, u) ∈ I
∈
(0) x B; tal que:
F´(0, u) = φ (0, ψ(u)) = ψ(u) ∈ ∑ ∩ W
p
.
En efecto, h [∑∩ W
p
] = {0} x B
i) c, si (0, u) ∈ I
∈
(0) x B, entonces F´(0,
u) = φ (0, ψ(u)) = ∈ ∑ …(1). En otro
sentido,
M = ({0} x {u/u ∈ B}) W
p
porque es un
difeomorsmo F (M) W
p
…. (2)
De (1) y (2) se concluye que, (0,
u) ∈ {0}
x B por lo tanto, h [∑ ∩ W
p
] {0} x B
h = [{0} x B] ∑ ∩ W
p
. Se puede con-
cluir que, h = [∑ ∩ W
p
] = {0} x B
•
Finalmente, para (t, u)
∈ I
∈
(0) x B; se tiene:
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) =
∂f / ∂t
(t, u).(1)
+
∂f / ∂t
(t, u).(0) + …+
∂f / ∂t
(t,
u).(0)
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) =
∂f / ∂t
(t, u)
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) =
∂φ / ∂t
(t,
ψ
(u))
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) = f (
φ (
t,
ψ
(u)))
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) = f (
F (
t, u))
(h
-1
)´ (t, u) f
1
(t, u) = f (h
-1
(
t, u))
f (h
-1
(
t, u)), luego h
-1
es una C
k
–
conjugada entre f
1
y f; h es una C
k
– conjugada
entre f | W
p
y f
1
La Figura 8, muestra la interpretación
geométricamente de conjugación topoló-
gica local entre campos de Y e f, de
f (h
-1
(
t, u), luego h
-1
es una C
k
– conjugada
entre Y e f; h es una C
k
– conjugada entre
f | W
p
e Y.
Figura 8. Conjugación topológica local entre
campos de Y e f.
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
D
102
Se concluyó, que la demostración del
teorema del ujo tubular para el com-
portamiento de las trayectorias de las
ecuaciones diferenciales autónomas no
lineales a lineales, ha probado ser muy
útil para determinar el comportamiento
de los ujos asociados a campos vecto-
riales, que viene a ser una familia de tra-
yectorias que analiza el comportamiento
geométrico local de las orbitas de un cam-
po vectorial en la vecindad de un punto
regular, pero no describe completamente
el comportamiento topológico global de
las orbitas de un ujo asociado al campo
vectorial sino, lo que hace es conjugar en-
tre campo constante y campo vectorial .
En cuanto a mostrar las conjugacio-
nes del ejemplo entre los dos campos, se
percibió que el teorema del ujo tubular,
ofrece ideas acerca del comportamiento
de las trayectorias en puntos regulares;
sin embargo, el teorema es aplicable siem-
pre que se conozca las soluciones de una
ecuación diferencial no lineal, teniendo
en cuenta que se verica las condiciones
de homeomorsmo y difeomorsmo.
Las bibliografías consultadas no indi-
can estudios aplicados a la tipología de la
demostración implícita del teorema del
ujo tubular, pues los ejemplos analizados
en el programa Wolfram Mathemática,
arrojaron resultados considerados como
relevantes, los cuales pueden ser utiliza
-
dos para futuros estudios con la nalidad
de corroborar los resultados obtenidos o
para su aplicación en áreas anes.
Referencias
Ali, B.H., Hossain, R. & Kumar, M.M.
(2017). Mathematical Modeling
Applied to Sustainable Manage-
ment of Marine Resources. Procedia
Engineering; 194, 337–344. https://
doi:10.1016/j.proeng.2017.08.154
Ali, H., Khan, E. & Sajad, M.A. (2013).
Phytoremediation of heavy metals
– concepts and applications. Che-
mosphere; 91, 869–881. https://
doi.org/10.1016/j.chemosphe-
re.2013.01.075
Benazic, T.R. (2007). Tópicos de ecua-
ciones diferenciales ordinarias.
Editorial. Universidad Nacional de
Ingeniería. https://www.yumpu.
com/es/document/view/143/...or-
dinarias-sociedad
Biswas, M.H.A. (2014). Optimal control
of Nipal virus (NIV) infections: A
Bangladesh scenario. Journal of Pure
and Applied Mathematics: Advances
and Applications; 12(1), 77–104.
Biswas, M.H.A., Rahman, T. & Haque,
N. (2016). Modeling the potential
impacts of global climate change in
Bangladesh: An Optimal Control Ap
-
proach. J Fundam Appl Sci; 8, 1–19.
http://dx.doi.org/10.4314/jfas.v8i1.1
Brown, A.R., Whale, G., Jackson, M.,
Marshall, S. & Hamer M. et al.
(2017). Towards the denition of
specic protection goals for the
environmental risk assessment of
chemicals: lessons learned from
a review of wider environmental
legislation. Integr Environ Assess
Manag; 13, 17–37. https://doi.
org/10.1002/ieam.1797
Cortés, R.J.J. & Aganis, J.M.L. (2012).
Aplicación inversa del método de
Krylov para obtener una matriz de
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
103
orden tres. Revista Ingeniería Inves-
tigación y Tecnología; 23(2), 169–
174. http://www.scielo.org.mx/pdf
Doering,
C.I. & Lopes, O.A. (2005).
Equações Diferenciais Ordinárias.
Capítulo: 4.7. Editorial IMPA. Pp.
421 http://www.impa.br/opencms/
pt/publicacoes/colecao_matemati
-
ca_universitaria/livroequacoes_dife-
renciais_ordinarias/livro_equacoes_
diferenciais_ordinarias_autores
Fernández, G.M. (2010–2011). Amplia
-
ción de ecuaciones diferenciales.
Capítulo 4: Soluciones periódicas
en sistemas autónomos planos, 4.2
teorema del ujo tubular, 67–71.
http://matematicas.unex.es/~ghie
-
rro/aed-2010-11/aediferenciales.pdf
García, A. (2007). Teoría de ecuaciones
diferenciales ordinarias. Univer-
sidad Autónoma Metropolitana
(UAM), Unidad Iztapalapa – Méxi
-
co. Capítulo 1: Primeros ejemplos y
deniciones, 1.2 Denición de una
ecuación diferencial, 3–11. http://
mat.izt.uam.mx/mat/documentos
Gonzáles, B.M. (2001). Conjugación
topológica de difeomorsmos. Re-
vista PESQUIMAT; 4(1), 13–29.
http://sisbib.unmsm.edu.pe/bib-
virtualdata
Hommen U., Baveco J.M., Galic N. &
Van den Brink P.J. (2010). Poten-
tial application of ecological mod-
els in the European environmen-
tal risk assessment of chemicals. I:
review of protection goals in EU
directives and regulations. Integr
Environ Assess Manag; 6, 325–337.
https://doi.org/10.1002/ieam.69
Lages, L.E. (2004). Analise real. Vol 2.
Capítulo: 6.1. Editorial IMPA. Pp.
202. http://www.estantevirtual.
com.br/dasraizes
Lages, L.E. (2006). Curso de analise. Vol
2. Capítulo: 5.8. Editorial IMPA.
Pp. 547. http://www.estantevir-
tual.com.br/livrariadourados
Moreno, R.M. (2011). Ecuaciones di-
ferenciales en R
2
. Centro de In-
vestigación en Matemáticas, A.C.
Capítulo: 3. Puntos singulares y re-
gulares, 3.2. Puntos regulares y rec-
ticación del ujo, 19–21. http://
www.cimat.mx/~mmoreno/notes/
EDD2.pdf
Mouquet, N., Lagadeuc, Y., Devictor,
V., Doyen, L., Duputié, A. & et
al. (2015). Predictive ecology in
a changing world. J Appl Ecol;
52, 1293–1310. https://besjour-
nals.onlinelibrary.wiley.com/doi/
pdf/10.1111/1365-2664.12482
Palis Jr, W. J. (1978). Introdução aos
sistemas dinámicos. Capítulo: 1.4
y 2.1. Editorial. Projeto Eucli-
des. Pp. 296. http://www.impa.
br/opencms/pt/biblioteca/cbm/
10CBM/10_CBM_75_08.pdf
Petchey, O.L., Pontarp, M., Massie,
T.M., Ké, S., Ozgul, A. & et al.
(2015). e ecological forecast
horizon, and examples of its uses
and determinants. Ecol Lett; 18,
597–611. https://doi.org/10.1111/
ele.12443
Schminder, J. & Gårdhagen, R. (2018).
A generic simulation model for
prediction of thermal conditions
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
D
104
and human performance in cock-
pits. Building and Environment;
https://.doi.10.1016/j.build-
env.2018.06.055
Sotomayor, T.J. (1979). Licoes de equa-
coes diferenciais ordinarias. Capí-
tulo: 6.4.8 Editorial Projeto Eucli-
des. Pp. 327. https://es.scribd.com/
document/219192941/Licoes-de-
-Equacoes-Diferenciais-Ordin
Yanagimoto, A. (2003). Environmental
Problems and Mathematical Mod-
elling. 1–8. https://doi.org/10.153
3/9780857099549.2.53
| C | V. XXIV | N. 27 | - | 2019 |
L E. H M - H E. N M - G A P
