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Estudio del análisis e interpretación de un problema
matemático evaluados a estudiantes universitarios de
primer año (2019) con la perspectiva didáctica en la
existencia de la solución
rEsumEn
El presente estudio trata sobre el desarrollo de un
problema matemático (ecuaciones aplicadas a edades)
dentro del área del algebra a nivel secundaria. Donde
se añadió la concepción de algunas formalidades
matemáticas como corresponde al nivel universitario
que está dentro de las exigencias a los estudiantes de
primer año de formación (Estudios Generales). El
problema aplicado a los estudiantes se enfoca en el
análisis de la posible respuesta de acuerdo al enunciado
de la misma, y generar un debate sobre el modelamiento
matemático de un problema real expresado en
ecuaciones matemáticas.
Palabras clave: educación Matemática, existencia de
soluciones, modelamiento matemático, formulación y
resolución de ecuaciones, interpretación de soluciones
aBstraCt
In the present work, a study will be made on the
development of a mathematical problem (equations
applied to ages) within the area of algebra at the
secondary level. Where the conception of some
mathematical formalities will be added as corresponds
to the university level that is within the requirements of
the rst year students of formation (General Studies).
Where the problem applied to the students focuses on
the analysis of the possible answer according to the
statement of the same, and generate a debate about the
mathematical modeling of a real problem expressed in
mathematical equations.
Key words: Mathematics education, existence of
solutions, mathematical modeling, formulation and
resolution of equations, interpretation of solutions
Study of the analysis and interpretation of the solution of a
mathematical problem evaluated to rst-year university students
(2019) with the didactic perspective on the existence of the solution
Recibido: noviembre 20 de 2019 | Revisado: diciembre 12 de 2019 | Aceptado: enero 25 de 2020
https://doi.org/10.24265/campus.2020.v25n29.06
N P R
S A P
1 Universidad Peruana Cayetano Heredia
neisser.pino@upch.pe
| C | V. XX IV | N. 28 | PP. - | - | || C | V. XX IV | N. 28 | PP. - | - | || C | V. XX V | N. 29 | PP. - | - | |
© Los autores. Este artículo es publicado por la Revista Campus de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad
de San Martín de Porres. Este artículo se distribuye en los términos de la Licencia Creative Commons Atribución No-comercial
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Introducción
El análisis de los problemas
matemáticos aplicados a la vida real
es un tema muy abordado durante el
colegio, especialmente, en la etapa de la
secundaria donde después de terminar,
se deberían tener los conocimientos
básicos y mínimos para ingresar a la
universidad (Aparicio & Bazán, 1997).
La matemática, como un área de
formación escolar, permite al alumno
abstraerse y comprender un enunciado
para formularlo en alguna ecuación,
y desde aquí, obtener una solución y
dar respuesta a la pregunta del mismo
enunciado (Flores, 2014). Según
(Rodriguez, 2016) este procedimiento
es vital para su crecimiento cognitivo
y en su desarrollo integral que forma
parte de su vida diaria. Por lo cual,
cuando se empiezan los cursos de
matemática en la universidad tienen
un enfoque analítico de acuerdo a
la formación académica que exige la
misma carrera profesional.
En este
sentido, la exigencia de problemas
analíticos más que operativos es la
perspectiva de un nuevo lineamiento
de la formación universitaria de
acuerdo a la nueva Ley Universitaria
(Ministerio de Educación, 2014)
donde la metodología es inseparable
de los supuestos teóricos, el problema y
los propósitos de la investigación; alude
a la manera en que se trata el problema
de investigación y a los procedimientos
para buscar las respuestas (Taylor &
Bodgan, 1992). Por consiguiente, los
enfoques de los problemas matemáticos
deben ser de una visión más allá de una
simple operación. (Malaspina Jurado,
2016)
Formulación del problema matemático
En esta sección, se presenta el enfoque
del problema matemático que se utilizó
como herramienta para evaluar el
impacto que genera en el razonamiento
de alumnos universitarios de primer año
de formación. Se escogió un problema de
ecuaciones relacionado a edades debido
que es un tema bastante conocido en la
escuela y es una base para la interpretación
de un problema real que se puede
expresar matemáticamente, obtener una
respuesta, dar una interpretación lógica y
que va con el contraste de la realidad del
problema enunciado. (Aparicio, 2006)
Cabe decir que la formulación de
problemas en los cursos universitarios
de matemática tiene un enfoque más
analítico y con una formalización del
procedimiento del problema. Se puede
expresar este procedimiento en el siguiente
esquema propuesto por (Tan Soo, 2018)
en su libro Matemáticas Aplicadas a los
Negocios, las Ciencias Sociales y la Vida,
y también lo expresa (Pino, 2017) en su
artículo enfocado a la Matemática como
herramienta para entender la Economía
y la Economía como fuente de problemas
matemáticos dando a comprender la
importancia de un correcto y estricto
modelaje de los problemas de la vida
real, y consolidando una formación
cientíca y humanística en el estudiante
universitario con una formación para el
desarrollo profesional adecuado que la
sociedad exige (Vilchez, 2007).
En la Figura 1, se puede describir cada
etapa en la resolución de un problema real
mediante un modelamiento matemático
según los siguientes autores (Baldor, 1941),
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(Malaspina Jurado, 2016), (Pino, 2017)
y (Tan Soo, 2018) como una estructura
adecuada de comprensión para una
abstracción de un problema real y poder
plantearlo en un modelo matemático. Es
decir: (i) Formular, dado un problema
real, la primera labor es formular el
problema con un lenguaje matemático.
Las numerosas técnicas utilizadas en
la construcción de modelos matemáticos
van desde la consideración teórica del
problema hasta la interpretación de los
datos asociados con el problema. Por
consiguiente, la mayoría de los modelos
matemáticos implican funciones de
una o más variables o ecuaciones
que las denan (implícitamente). (ii)
Resolver, una vez construido el modelo
matemático, se puede utilizar técnicas
matemáticas apropiadas, las cuales
permitirán solucionarel problema.
(iii) Interpretar, después de haber
obtenido la solución matemática que
se adecúa al modelo matemático, se
tiene que interpretar los resultados en el
contexto del problema real original. (iv)
Probar, algunos modelos matemáticos
de aplicaciones reales describen
situaciones con una precisión completa.
Pero otros modelos matemáticos dan, en
lo mejor de los casos, una descripción
aproximada del problema real. En
este caso tener que probar la precisión
del modelo observando qué tan bien
describe el problema real y predice el
comportamiento pasado o futuro. Si
estos resultados no son satisfactorios,
entonces puede que se tenga que volver
a considerar los supuestos hechos en la
construcción del modelo o, en el peor de
los casos, iniciar de nuevo la construcción
del modelo como se realiza en el paso
Formular.
Figura 1. Construcción de un modelo matemático
Nota. Matemáticas Aplicadas a los Negocios, las Ciencias Sociales y la Vida,
Tan (2018)
Realmente, se presenta un proceso
ordenado, sistematizado y coherente para
un adecuado algoritmo de resolución de un
problema real, y cómo la matemática ayuda
a resolver los problemas de la vida real es la
herramienta idónea para la resolución de
problemas. (Malaspina Jurado, 2016).
Ahora presentamos dos ejemplos de
problemas matemáticos con respecto a las
edades. Y se muestra cómo usualmente se
resuelven en la etapa escolar, y hasta en
la etapa universitaria. (Chuquilin Cubas,
2011)
E
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Problema 1: Si dentro de 10 años
Adriana tiene el triple de la edad que
tiene ahora,
¿qué edad tendrá entonces?
Solución: Llamamos 𝒙 a la edad actual
de Adriana. Como Adriana tiene ahora 𝒙
años, dentro de 10 años su edad será 𝒙 +
𝟏𝟎. El triple de la edad que tiene ahora
es 𝟑𝒙. Por tanto, la ecuación que expresa
que dentro de 10 años la edad será el
triple que la actual es: 𝑥 + 10 = 3𝑥, donde
𝒙 = 𝟓. Luego, la edad actual de Adriana
es 5 años. Dentro de 10 años, su edad
será 15 años.
Problema 2: La abuela de Lucía tiene
cinco veces su edad y su madre tiene la
mitad de edad que su abuela. Dentro de
seis años, la edad de la Lucía es la mitad
que la de su madre, ¿qué edad tiene cada
una?
Solución: Si la edad de Lucía es 𝒙, la
de su abuela es 𝟓𝒙, y la de su madre es
La ecuación que tenemos es:
Luego, Lucía tiene 12 años, su
madre tiene 30 años y su abuela tiene 60
años.
Como se ha podido observar en estos
dos problemas sencillos, los estudiantes
usualmente formulan la ecuación
correctamente, y desarrollan la ecuación
hasta encontrar la solución. Y luego,
se expresa la respuesta al problema de
acuerdo a las preguntas formuladas. Pero,
surge una pregunta fundamental que
no se realiza de manera explícita en el
problema, ni se hace mención al menos
en la formación secundaria pero en la
superior debería considerarse de forma
fundamental para un adecuado análisis
del problema. El alumno se pregunta en
algún momento, ¿el problema siempre
tiene solución? (Rodriguez, 2016).
Formalización del problema (edades)
Ahora formularemos algunos detalles
que generalmente nadie considera en
la resolución de un problema. Como
mencionaba el escritor Conan Doyle en
su libro: No hay nada más engañoso que
un hecho evidente. Ante este hecho, la
matemática ha ido formalizando cada
paso de la resolución debido que todo
proceso matemático está gobernado por
axiomas y propiedades inquebrantables
que garantizan una estructura bien
denida. (Zapata & Blanco, 2009).
La matemática presenta conceptos
de formalización en la resolución de
un problema de la vida real donde la
consideración de todo el problema bien
denido se centra en lo siguiente: la
Existencia de Soluciones y la Unicidad
de Soluciones, en algunos problemas
donde lo exija la misma formulación de
las variables, se considerará la Positividad
de las Soluciones. Estas consideraciones
parecerían no muy importantes en la
resolución de los problemas debido que
se presumen apriori que el problema lo
satisface, y ante este hecho, se procede a
la resolución del problema de forma casi
inmediata. (Malaspina Jurado, 2016).
En los problemas de edades, los
estudiantes deberían al menos considerar
estos detalles, no porque ayuden a la
resolución del problema en su aspecto
operativo y funcional, sino más bien
en la aprehensión y comprensión
del problema, y cómo la matemática
ayuda a resolver problemas de mayor
5
Solución: Si la edad de Lucía es , la de su abuela es , y la de su madre es
La
ecuación que tenemos es: + 6 =
1
2
(
5
2
+ 6), donde = . Luego, Lucía tiene 12
años, su madre tiene 30 años y su abuela tiene 60 años.
Como se ha podido observar en estos dos problemas sencillos, los estudiantes
usualmente formulan la ecuación correctamente, y desarrollan la ecuación hasta
encontrar la solución. Y luego, se expresa la respuesta al problema de acuerdo a las
preguntas formuladas. Pero, surge una pregunta fundamental que no se realiza de
manera explícita en el problema, ni se hace mención al menos en la formación
secundaria pero en la superior debería considerarse de forma fundamental para un
adecuado análisis del problema. El alumno se pregunta en algún momento, ¿el
problema siempre tiene solución? (Rodriguez, 2016).
Formalización del Problema (edades)
Ahora formularemos algunos detalles que generalmente nadie considera en la
resolución de un problema. Como mencionaba el escritor Conan Doyle en su libro: No
hay nada más engañoso que un hecho evidente. Ante este hecho, la matemática ha
ido formalizando cada paso de la resolución debido que todo proceso matemático está
gobernado por axiomas y propiedades inquebrantables que garantizan una estructura
bien definida. (Zapata & Blanco, 2009).
La matemática presenta conceptos de formalización en la resolución de un
problema de la vida real donde la consideración de todo el problema bien definido se
centra en lo siguiente: la Existencia de Soluciones y la Unicidad de Soluciones, en
algunos problemas donde lo exija la misma formulación de las variables, se considerará
la Positividad de las Soluciones. Estas consideraciones parecerían no muy importantes
en la resolución de los problemas debido que se presumen apriori que el problema lo
satisface, y ante este hecho, se procede a la resolución del problema de forma casi
inmediata. (Malaspina Jurado, 2016).
En los problemas de edades, los estudiantes deberían al menos considerar
estos detalles, no porque ayuden a la resolución del problema en su aspecto operativo
5
Solución: Si la edad de Lucía es , la de su abuela es , y la de su madre es
La
ecuación que tenemos es: + 6 =
1
2
(
5
2
+ 6)
, donde
=
.
Luego, Lucía tiene 12
años, su madre tiene 30 años y su abuela tiene 60 años.
Como se ha podido observar en estos dos problemas sencillos, los estudiantes
usualmente formulan la ecuación correctamente, y desarrollan la ecuación hasta
encontrar la solución. Y luego, se expresa la respuesta al problema de acuerdo a las
preguntas formuladas. Pero, surge una pregunta fundamental que no se realiza de
manera explícita en el problema, ni se hace mención al menos en la formación
secundaria pero en la superior debería considerarse de forma fundamental para un
adecuado análisis del problema. El alumno se pregunta en algún momento, ¿el
problema siempre tiene solución? (Rodriguez, 2016).
Formalización del Problema (edades)
Ahora formularemos algunos detalles que generalmente nadie considera en la
resolución de un problema. Como mencionaba el escritor Conan Doyle en su libro: No
hay nada más engañoso que un hecho evidente. Ante este hecho, la matemática ha
ido formalizando cada paso de la resolución debido que todo proceso matemático está
gobernado por axiomas y propiedades inquebrantables que garantizan una estructura
bien definida. (Zapata & Blanco, 2009).
La matemática presenta conceptos de formalización en la resolución de un
problema de la vida real donde la consideración de todo el problema bien definido se
centra en lo siguiente: la Existencia de Soluciones y la Unicidad de Soluciones, en
algunos problemas donde lo exija la misma formulación de las variables, se considerará
la Positividad de las Soluciones. Estas consideraciones parecerían no muy importantes
en la resolución de los problemas debido que se presumen apriori que el problema lo
satisface, y ante este hecho, se procede a la resolución del problema de forma casi
inmediata. (Malaspina Jurado, 2016).
En los problemas de edades, los estudiantes deberían al menos considerar
estos detalles, no porque ayuden a la resolución del problema en su aspecto operativo
donde
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complejidad. Y de manera especíca,
en la formalización de los problemas de
edades, se debería considerar el espacio
de las soluciones, es decir, dentro de qué
espacio de los números se encontrará la
solución, debido que el enunciado del
problema lo indica de manera puntual o
de forma implícita.
Un problema de edades contiene
variables que se asigna a cada personaje
que se incluya en el enunciado. Desde
aquí, estas variables deben ser no
negativas, es decir, positivas. Por lo
cual, el espacio de solución inicial a
considerar sería: R
0
+
, donde también se
considera el valor cero porque representa
el inicio de la vida. Pero si uno analiza
con mayor detalle, la medición de la
edad en la vida cotidiana, se indica con
números enteros (Z), pero con el mismo
detalle de la no negatividad se debe
especicar el espacio correspondiente
sería los números naturales (N) donde
también se incluya al número cero. Este
proceso de razonamiento permite una
mejor concepción de la solución antes
de construir la ecuación y resolver la
ecuación. Lo cual, es el proceso adecuado
para un estudiante universitario que
busca un análisis más completo para
afrontar la problemática de la vida real.
(Pino, 2017).
Esta parte teórica de la matemática
aplicada a los problemas de la vida real
se centra en algunas consideraciones
triviales que pasan sin mucha importancia
al momento de resolver problemas,
pero contienen un fundamento básico
para la comprensión y abstracción del
problema y cómo resolverlo debidamente
de tal forma que brinda soluciones
mejor fundamentadas, siendo todo
este razonamiento ordenando y lógico,
la piedra angular de la formación
universitaria, para una consolidación del
aprendizaje integral.
Enunciado del problema para los
estudiantes
Presentamos el problema que se evaluó
a los estudiantes de primer semestre
académico. Se desarrolló detalladamente
el problema propuesto para poder
enfocar el estudio en los estudiantes. Este
problema se puede considerar un ejercicio
muy abundante en el análisis matemático
y en la comprensión pedagógica que
se puede desprender después de la
evaluación hacia los estudiantes. (Flores,
2014).
El problema que se utilizó ha sido
recopilado de una película española
titulada “La Habitación de Fermat”
(2007), y se ubica en el acertijo 8 del
transcurso de la película. Se escogió
este debido que el enunciado puede
generar confusión y controversia ante
el planteamiento de un problema
matemático cuando se va deniendo las
variables que conformarán la ecuación.
(Ecured, 2008)
Problema Propuesto (Una Cuestión de
Edades)
Una madre es 21 años mayor que su
hijo. Al cabo de seis años la edad de la
madre será cinco veces la que tenga el
hijo. ¿Qué está haciendo el padre?
Del problema propuesto, se puede
construir las siguientes consideraciones
iniciales.
• Unidad temporal: años
• Espacio de soluciones: valores no
negativos (N
0
)
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Observación 1: Donde el valor del
cero indica el nacimiento o el inicio de
la vida de la persona, donde también se
considera el punto referencial al tiempo
Presente.
Observación 2: Surge la pregunta
sobre la variable del Padre, debido
que no hay datos relacionados a él.
Causando la principal interrogante de
este problema, más aún, ocasiona la crisis
de encontrar solución a este problema.
Por lo cual, se procede a la formulación
de las ecuaciones para encontrar alguna
solución de acuerdo al enunciado del
problema.
Ahora, denimos las variables
respectivas de la ecuación de acuerdo al
orden que aparecen en el enunciado del
problema, y además, la unidad temporal
de todas las variables está en años.
• Madre : M (edad en años)
• Hijo : H (edad en años)
• Padre : P (edad en años)
Un adecuado reconocimiento que
se puede inferir del enunciado es el
estado del tiempo (pasado, presente y
futuro), donde es importante denir
adecuadamente la expresión matemática
para la formulación de la ecuación, y así,
poder obtener la solución. (Zapata &
Blanco , 2007).
Tiempo Presente : 𝑀 = 21 + 𝐻
Tiempo Futuro : 𝑀 + 6 = 5(𝐻 +
6)
Introduciendo la ecuación del tiempo
presente a la ecuación del tiempo futuro
obtenemos una sola ecuación con una
sola variable. Teniendo en cuenta que
todo está en la unidad temporal de
años, tendremos que: ((21 + 𝐻) + 6)
= 5(𝐻 + 6), donde 𝑯 = −
𝟑
⁄
𝟒
. Después
de obtener esta solución, se sitúa en una
contradicción de lógica matemática
debida que ya se había denido el espacio
de soluciones (valores no negativos).
Una observación importante en
la resolución de muchos problemas
algebraicos aplicados, es la unidad de la
dimensión de la variable, en nuestro caso,
el tiempo (años). Bajo esta consideración
la solución obtenida, se puede transformar
a otra unidad temporal. Como se sabe,
un año equivale 12 meses en la unidad de
tiempo donde se encuentra el problema
propuesto.
De aquí se puede transformar la
solución obtenida con la intención de
encontrar la respuesta nal al problema
propuesto, donde parece que es imposible
encontrar de una manera directa y
tradicional de encontrar soluciones. La
solución obtenida está expresada en años,
pero también se puede representar bajo
la unidad temporal mensual. Esto quiere
decir, 𝑯 = −𝟗 (𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔). Aún después de
la obtener la solución expresada en años,
y luego de transformar la solución a meses,
no se puede encontrar una respuesta
para la pregunta del problema. Este
punto en el análisis del resultado viene
a ser el punto de quiebre y la apertura
a un análisis aún mayor, debido que el
estudiante debe relacionar la pregunta
con la solución obtenida, y así dar una
respuesta al problema. (Zapata & Blanco,
2009).
La solución nal (en meses)
relacionado a la edad del Hijo, cuyo
valor es de −𝟗 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔, nos indica algo
sobre el estado del tiempo en donde
se encuentra, el cual es el Tiempo
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Presente, y una consideración que se
tiene es el tiempo positivo. Aparte que
no guarda una relación con la variable
del Padre, y más aún, con la pregunta
del problema, ¿Qué está haciendo? Pero
desde esta comprensión del estado del
tiempo, permite abstraer la relación del
tiempo y la variable del Padre; la cual es
que si 𝑯 = 𝟎 signica el nacimiento del
Hijo (bien en años o meses). Entonces
el valor 𝑯 = −𝟗 meses indicaría la
concepción del Hijo (Tiempo Pasado),
bajo con la consideración de un tiempo
de gestación normal (nueve meses). Por
ende, siguiendo este razonamiento, sí se
puede responder lo qué está haciendo
el Padre. Y la respuesta al problema
sería: el Padre está en pleno coito con
la Madre.
Después de terminar con la resolución
detallada del problema donde se indica
las directrices que tiene la resolución del
mismo, y más aún, con una pregunta que
en su primera impresión indicaría que no
está relacionado con el enunciado de las
hipótesis, y por ende, no se podría hallar
respuesta. (Gutiérrez, 2011).
Aplicación del problema a los
estudiantes
Esta sección se concentra en
la descripción de la población de
estudiantes evaluados con el problema
propuesto en la subsección 2 para
nuestro estudio experimental. Como se
había mencionado, la población estuvo
constituida por estudiantes de primer año
de formación universitaria de la ciudad
de Lima. (Cuena , Carrillo , De los Ríos,
Reátegui, & Ortiz, 2017). Se ha realizado
la evaluación a un total de 450 estudiantes
de tres universidades (una pública y dos
privadas) de la ciudad de Lima. Todos los
estudiantes cursaban el primer semestre
académico de su formación universitaria.
En el estudio no se ha hecho diferencia
sobre las carreras que están estudiando
como tampoco la edad ni el sexo, ni el
tiempo de preparación adicional a la
escolar (secundaria). La presentación y
la evaluación del problema se suscitaron
durante el desarrollo del curso de
matemática como un problema especial
de ecuaciones. De esta forma, se busca
evaluar a los estudiantes de una forma
espontánea y sin presiones para poder
analizar sus expresiones, comentarios y
observaciones ante el problema.
Análisis del desarrollo del problema
por los estudiantes
Esta parte se centró en el estudio de las
diferentes reacciones que generó por
parte de los estudiantes con respecto
al enunciado dictado oralmente del
problema, el proceso de planteamiento
del problema y obtención de una
solución, y nalmente la obtención de
la respuesta a la pregunta del problema
propuesto. (Asensios, 2016).
Resultados preliminares
Se presentan dos grácas que se relacionan
entre sí, debido que la introducción de
la variable Padre causó conmoción al
momento de interpretar el problema
propuesto debido a que se consideró leer
(tres veces) el enunciado del problema
hacia los estudiantes para resaltar el
análisis de comprensión auditiva y su
respectivo planteamiento de ecuaciones
en los estudiantes.
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Figura 2. Impresión inicial ante el enunciado del problema
En la Figura 2, especícamente de la
izquierda, se puede apreciar las reacciones
de los estudiantes y sus respectivas acciones
ante el problema propuesto donde un
45% de la población estudiantil no
intentó resolverlo por quedarse pensando
en la pregunta relacionada al padre
mientras que un 25% intentó hacerlo,
pero no obtuvo la solución de su ecuación
o no pudo formular alguna ecuación, y
nalmente el 30% sí consiguió la solución
correcta (𝑯 = −𝟑/𝟒), pero no dio la
respuesta al problema.
En este sentido, los resultados se
complementan con la gráca de la
derecha en cuanto a un hecho que ha
marcado en los estudiantes, donde un
65% formuló la ecuación y la resolvió
(no importó la respuesta correcta, pero
sí se halló la solución correcta) mientras
que el 35% indicó que no comprendió
la pregunta y no la resolvió por ese
motivo. Una percepción inicial ante un
enunciado peculiar de un problema de
edades, donde quizás sería la primera vez
que tenían que desarrollar un problema
con una pregunta que diere a las
hipótesis del enunciado (Jopen, Gómez,
& Olivera , 2014).
Después del tiempo establecido para la
resolución del problema (15 minutos), se
pasó a recoger las hojas de resolución, y
luego de realizar un pequeño cuestionario
sobre el problema evaluado para los
estudiantes. Esta consideración se realizó
primero, antes de resolver, y luego para
explicar el procedimiento que se debió
realizar (como en la subsección 2. Este
hecho, de explicar paso a paso, es la parte
fundamental del estudio realizado en
los estudiantes, debido a que cuestiona
el análisis cotidiano de un problema de
edades. Este desarrollo se realizó en la
pizarra con la ayuda de los estudiantes.
Para ello, se efectuó una formalización
de las variables y las ecuaciones
consideradas para la resolución. (Zapata
& Blanco, 2009) El hecho de explicar y
fundamentar las bases elementales de la
construcción del espacio de las soluciones
y la denición de las variables.
Por tanto, la formalización de la
ecuación donde se relaciona Madre e
Hijo para obtener la solución, ha sido
de vital importancia ya que que los
estudiantes conrmaban la adecuada
comprensión del problema planteado
debido a que el porcentaje de estudiantes
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que no intentó resolver (45%) estuvo
atento a la explicación, mientras que el
55% se mantuvo expectanteexpectante
de la respuesta ante la pregunta del
problema. Con estos dos escenarios se
puede analizar la diferencia de enfoque
pedagógico para los dos grupos y así
explicar, con detalle cómo se inere la
respuesta nal del problema, y fomentar
un mejor razonamiento y comprensión de
las respuestas de los problemas aplicados.
Cuando se dio la respuesta a la pregunta,
fue el punto de quiebre de una respuesta
que no se infería a partir de las hipótesis
de forma directa, sino más bien, de una
forma indirecta, y ante este fundamental
detalle, los estudiantes comprendieron
que los problemas exigen una mayor
comprensión. (INEI, 2018)
Resultados nales
Ante la resolución del problema que se
realizó paso a paso, se fue identicando
el dominio de la solución del problema,
y luego la formulación, y nalmente la
obtención de la solución. Y luego, se
explicó la transformación de la unidad
temporal para generar una línea de
tiempo donde se pueda expresar la idea
de modelización de la edad de una
persona (tiempo positivo y usualmente
de valor entero) con lo cual, se terminó la
explicación del problema propuesto ante
la sorpresa de los estudiantes. De aquí, se
repartió nuevamente una pequeña hoja
para qué respondieran unas preguntas, y
así terminar el estudio en el aula de forma
satisfactoria. (Zapata & Blanco , 2007).
En la última etapa de la aplicación, que
los estudiantes escriban opiniones sobre
el problema y la dinámica de la resolución
del problema propuesto, para lo cual,
esta intervención ellos se dividió en dos
grupos (los que no habían obtenido la
solución correcta (𝐻 = −3/4) y los que
la habían obtenido la solución) para su
respectivo análisis de opiniones.
Figura 3. Nivel de comprensión de los estudiantes
Después de realizar el análisis sobre la
compresión de la resolución y la forma
adecuada para obtener la respuesta nal
ante la pregunta; se vio que un adecuado
análisis de formalización y construcción
de las variables y la ecuación ayuda
mucho para la resolución del problema.
Se preguntó a los estudiantes, y se obtuvo
que el primer grupo que representaba el
grupo que no habían obtenido la solución
(gráca de la izquierda) comprendió un
80% y solamente un 20% tiene alguna
duda de la resolución mientras que el
segundo grupo que eran los estudiantes
que habían obtenido la solución (gráca
de la derecha) se obtuvo un 98% y
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solamente un 2% tiene alguna duda
de la resolución. Logrando una mejor
comprensión ante una pregunta que
inicialmente no parecería que no tuviera
nada con el enunciado del problema
(Figura 3).
Este estudio mediante muestra lo que
se ha dicho en varias ocasiones sobre el
nivel analítico de los estudiantes. De
forma similar se expresó en el artículo
“Actitudes hacia las Matemáticas en
Ingresantes a la Universidad Nacional
Agraria, La Molina” (Aparicio &
Bazán, 1997) y mediante un proceso
estructurado como lo indica el profesor
Malaspina en su artículo “Creación
de problemas: sus potencialidades en
la enseñanza y aprendizaje de las
Matemáticas” (2016) nos han brindado
una orientación adecuada para un
enfoque didáctico y analítico hacia
los estudiantes de un simple problema
algebraico (cuestión de edades). El
estudio ha sido muy enriquecedor para
los investigadores, pero sobre todo para
los estudiantes ya que se brindó una
perspectiva de análisis más allá de la
técnica de desarrollo habitual.
En la última parte del estudio, se
realizó nuevamente un formulario con
preguntas sobre la aplicación de este
problema en relación a su formación
previa (colegio) y la formación que están
recibiendo en la universidad actualmente,
de tal forma que se puedan analizar sus
conocimientos y experiencias previas
para un problema que parecería diferente
a los conocidos por ellos. Se realizaron
diversas preguntas que analizamos a
continuación. (Rodríguez, 2012).
Figura 4. Antecedentes de los estudiantes ante el tipo de problema propuesto.
El análisis de las mismas nos permite
deducir que la formación de la secundaria
estaría enfocada a resolver problemas de
un tipo más sencillo de análisis donde se
pueda encontrar soluciones (problema
matemático) y respuestas (problema real)
a los problemas propuestos (Figura 4).
Este hecho ha resaltado mucho sobre
el impacto que se puede suscitar en la
formación universitaria. Por lo cual, en
esta línea se realizaron dos preguntas
más para visualizar cómo ellos pueden
interpretar la realidad mediante el
modelamiento matemático. (Arias, 2005)
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Figura 5. Percepción de problemas analíticos en la formación universitaria
La perspectiva de formación
universitaria varía mucho sobre el
enfoque de los cursos de Matemática a
las carreras profesionales. Pero sin lugar
a duda, una buena formación académica
permite una mejor perspectiva de la
comprensión y la aplicabilidad de la
matemática. Sin embargo como se
pudo observar en la resolución, del
problema propuesto, falta quizás más
análisis en los problemas. Con lo
cual, ante la evaluación por parte de
los alumnos, en ese momento (abril),
ellos indicaron que solamente un
45% estaría preparado para problemas
similares, pero también surgió la
consideración de problemas analíticos
en su respectiva formación 90%.
Finalmente, se mostraron los
resultados de la última pregunta evaluada
a su percepción a problemas similares del
que se evaluó ese día, donde se obtuvo
un 99% de aceptación de problemas
analíticos en la formación porque ese tipo
de exigencia ayudará a su preparación
profesional (Figura 5). De forma
adicional, la percepción de la pregunta
que no se relaciona directamente con el
enunciado generó confusión y rechazo
debido a que usualmente con los datos
que se brindan en el enunciado basta
para resolver. Este hecho fue el punto
clave del estudio para analizar si se
analiza detalladamente un problema o
es algo pragmático, actualmente, en la
resolución de problemas. (Arias, 2005).
Figura 6. Nivel de importancia en un problema aplicado a la vida real
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Después de terminar el análisis,
se solicitó una última respuesta con
respecto a su apreciación del énfasis
de los problemas universitarios que se
dividió entre tres campos. De aquí, se
obtuvo solamente un 30% que se enfoca
en problemas operativos, mientras que el
50% quiere que se enfoque en problemas
analíticos. Pero hay un 20% que desea
una formación que se complemente
ambos enfoques (Figura 6).
En este sentido, se logró
satisfactoriamente los objetivos que
se habían propuesto en el inicio de
este estudio; el primero de evaluar el
nivel análisis de un problema aplicado,
al cual los estudiantes respondieron
satisfactoriamente, y el segundo era
observar el nivel de comprensión y
análisis ante el problema propuesto
que rompía el estilo de problemas que
usualmente se utiliza en este tema de
modelamiento matemático; y como un
objetivo adicional sería la aceptación de
este tipo de problemas donde se enfoque
más el análisis del problema y denir
correctamente las variables y el espacio de
las soluciones. Sin lugar a duda, ha sido
un estudio y aprendizaje compartido para
los estudiantes evaluados y para nosotros.
Comentarios de los estudiantes
Realmente el estudio aplicado a los
estudiantes fue una acción signicativa
para formalizar el proceso matemático
con énfasis en el análisis, sin dejar de
lado la parte operativa de los problemas
para poder conocer y evaluar el impacto
que tienen los problemas, y más aún,
cuando la pregunta no guarda una
relación supuestamente directa con el
enunciado del mismo. Expondremos
algunos comentarios de los estudiantes
después de la realización y explicación del
problema propuesto. (Aparicio & Bazán,
1997). (Aparicio, 2006): (i) Cuando
escuchaba el enunciado pensaba en la
resolución hasta que escuché la pregunta,
y no sabía qué hacer. Pensé que era una
broma. (ii) Pensé que el problema era un
chiste, porque no encontraba respuesta a
la pregunta. (iii) Resolví rápidamente el
ejercicio, y obtuve la respuesta negativa,
y no supe que más hacer. (iv) Ha sido el
problema más gracioso, pero también
el más difícil de comprender para dar
respuesta porque no esperaba la respuesta
negativa y no sabía cómo relacionarlo
con la pregunta.
(v) Aunque no pudiera resolver, el
problema me hizo pensar mucho, porque
no sabía cómo conectar los datos con la
pregunta. Me gustó el planteamiento de
la respuesta a partir de la edad negativa
del hijo porque me hizo ver un análisis
mucho más amplio. (vi) En el colegio
nunca había realizado un problema
parecido donde tenga que pensar de
muchas formas para tener la respuesta,
y creo que al resolver este problema la
matemática me ayudará mucho más
en la vida profesional. (vii) Este tipo
de dicultades ayudan mucho más a
considerar variables para resolverlos y no
solamente que sean operativas donde se
consiga la respuesta fácilmente. Me gustó
mucho la explicación y la consideración
del tiempo.
Sin lugar a dudas fue una actividad
académica que suscitó preguntas y
cuestionamientos a los estudiantes de
cómo se deben relacionar los datos que
brinda el problema, y cómo los datos se
tienen que relacionar con la pregunta
para brindar e interpretar la respuesta
del problema que era el n de esta
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aplicación en los estudiantes de primer
año de la universidad. (Arias 1997;
Malaspina 2016; Rodríguez 2016). Hay
que considerar que este estudio se centró
en cómo los estudiantes universitarios
comprenden y analizan el enunciado
del problema, y desde ahí, cómo lo
resuelven y dan la respuesta a la pregunta
del problema. También se enfocó en
la perspectiva de lineamiento de los
problemas matemáticos que necesiten una
interpretación de comprensión lectora, y
de ahí pasarlo al lenguaje matemático para
ser desarrollado, y luego dar la respuesta
con una adecuada interpretación al
problema que reeja una interrogante de
la vida real. (Aparicio, 2006) .
Conclusiones
Las matemáticas ayudan al estudiante
a comprender la realidad mediante una
situación problemática de tal forma
que pueda construir una ecuación que
respalde su razonamiento analítico, y
así obtener respuestas a problemas de
la vida real, lo cual exige la formación
universitaria. La capacidad de análisis
aprendido en el colegio (nivel secundario)
según los estudiantes (450) que
realizaron la prueba muestra que están
más aptos a realizar problemas operativos
que analíticos. A lo largo de nuestra
experiencia docente, observamos que los
estudiantes presentan más deciencias
en plantear el problema que en la parte
operativa. El problema propuesto fue
tomado con un factor gracioso, pero a
la vez con una duda académica que no
se esperaba la población estudiantil,
debido que el enunciado de las hipótesis
del problema no guardaba relación
directa con la pregunta. Los estudiantes
mostraron una crisis en cuánto a la
pregunta del problema, y lo resolvieron
mediante las ecuaciones, pero al obtener
la solución de la ecuación no sabían
cómo relacionarlo con la pregunta, y este
hecho fue el eje principal del estudio.
El
problema propuesto permitió medir el
nivel de comprensión y análisis de los
estudiantes para realizar un modelado
matemático aplicado a problemas
reales
. Solamente el hecho hacerles
pensar en cómo relacionar las hipótesis
con la pregunta ha sido el mayor logro del
estudio. Los estudiantes comprendieron
la importancia de un adecuado análisis
del enunciado y formalización del
espacio de las soluciones en donde
el problema está incluido, además
de la consideración de las unidades
de cada variable. La formación
universitaria debe ser más exigente en
las formalidades para la construcción de
los modelos matemáticos en los cursos
de matemática a nivel superior debido
que la comprensión de un problema
real es más complicada de expresarla
en ecuaciones. Si bien es cierto que la
utilización de la tecnología en el aula en
el proceso de la enseñanza-aprendizaje
facilita al estudiante con respecto a los
cálculos y entendimientos operativos del
proceso; los docentes tenemos que hacer
énfasis en nuestras sesiones de aula para
reforzar la capacidad y actitud crítica e
innovadora que tienen ellos
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