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| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
Aplicación de la metodología no paramétrica
Bootstrap en el control de calidad del proceso de
envasado del café
rEsumEn
La investigación tiene como objetivo mostrar la eciencia de la metodología
Bootstrap en la construcción de límites de los diagramas de control del
promedio (
X
) - Rango (R), su empleo en las grácas de control de Wu
y Wang (1996) y comparar los resultados de esta metodología con la forma
clásica. Se encontró que los límites de control para el gráco R con el
intervalo normal Bootstrap para 1000 (LCL = 0; UCL=13.39) y 10000
(LCL = 0; UCL=13.49), presenta un ligero incremento en la variación del
peso; mientras que, con el intervalo de percentil Bootstrap para 1000 (LCL
= 0.1; UCL=12.1) y 10000 (LCL = 0.1; UCL=11.8), presenta una ligera
disminución en la variabilidad de los pesos respectivamente. Así mismo,
los límites de control del promedio Bootstrap con el intervalo normal
Bootstrap para 1000 (LCL = 195.54; UCL=207.42) y 10000 (LCL = 195.8;
UCL=207.2) el cual presenta una ligera estabilidad en el promedio de los
pesos mientras que, con el intervalo de percentil Bootstrap para 1000 (LCL
= 196.6; UCL=206.7) y 10000 (LCL = 196.6; UCL=206.3). Por tanto, el
diagrama de control promedio-rango, cuando el supuesto de normalidad no
se cumple para muestras pequeñas ha mostrado inecacia en la detección e
identicación de causas especiales en un proceso. La investigación presenta
una metodología no paramétrica que identica la señal fuera de control
(cumpla o no el supuesto de normalidad), a través de la metodología
Bootstrap en la construcción de límites de control promedio-rango.
Palabras clave: Bootstrap, grácos de control, envasado de café
abstraCt
e objective of the research is to show the eciency of the Bootstrap
methodology in the construction of limits of the control diagrams of the
mean () - Range (R), its use in the control charts of Wu and Wang (1996)
and to compare the results of this methodology with the classical form. It
was found that the control limits for the R chart with the Bootstrap normal
interval for 1000 (LCL = 0; UCL = 13.39) and 10000 (LCL = 0; UCL =
13.49), present a slight increase in the weight variation; while, with the
Bootstrap percentile interval for 1000 (LCL = 0.1; UCL = 12.1) and 10000
(LCL = 0.1; UCL = 11.8), it presents a slight decrease in the variability of
the weights respectively. Likewise, the control limits of the Bootstrap average
with the Bootstrap normal interval for 1000 (LCL = 195.54; UCL = 207.42)
and 10000 (LCL = 195.8; UCL = 207.2) which presents a slight stability in
the average of the weights while than, with the Bootstrap percentile interval
for 1000 (LCL = 196.6; UCL = 206.7) and 10000 (LCL = 196.6; UCL =
206.3). erefore, the mean-range control diagram, when the assumption
of normality is not fullled for small samples, has shown ineectiveness in
the detection and identication of special causes in a process. e research
presents a non-parametric methodology that identies the out-of-control
signal (whether or not the assumption of normality), through the Bootstrap
methodology in the construction of average-range control limits.
Key words: Bootstrap, control charts, coee packaging
C G C
V P O
M B
1 Universidad Agraria La Molina
cgonzales@lamolina.edu.pe
2 Universidad Agraria La Molina
3 Universidad de San Martín de
Porres
Application of non-parametric Bootstrap methodology in quality
control of the coee packaging process
Recibido: junio 20 de 2020 | Revisado: julio 20 de 2020 | Aceptado: agosto 17 de 2020
https://doi.org/10.24265/campus.2020.v25n30.11
| C | V. XX V | N. 30 | PP. - | - | |
© Los autores. Este artículo es publicado por la Revista Campus de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad
de San Martín de Porres. Este artículo se distribuye en los términos de la Licencia Creative Commons Atribución No-comercial
– Compartir-Igual 4.0 Internacional (https://creativecommons.org/licenses/ CC-BY), que permite el uso no comercial,
distribución y reproducción en cualquier medio siempre que la obra original sea debidamente citada. Para uso comercial
contactar a: revistacampus@usmp.pe.
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Introducción
El Bootstrap es un método de
remuestreo propuesto por Bradley Efron
en 1979 que ofrece una aproximación
para la inferencia y el contraste de
hipótesis. Mediante el uso del remuestreo
se estima la distribución empírica del
estadístico y a partir de ella se realiza la
inferencia sobre el parámetro. Puede
considerarse como un tipo especial de
simulación basada en los datos, esto es,
simulación a partir de una estimación de
la población en el que la muestra se trata
como si representara exactamente toda la
población.
En dicha técnica se puede apreciar
como los procesos computacionales
sustituyen el análisis teórico. Wu y Wang
(1996) exponen el uso de la metodología
Bootstrap en los grácos de control
X
y R para muestras de tamaño “n” menor
a cuatro como una alternativa a los
diagramas clásicos de Shewhart los cuales
se basan en la asunción de normalidad
de la distribución y generalmente para
“K” muestras (K ≥ 25) de tamaño n =
5. La metodología Bootstrap permite
a los usuarios especicar y ajustar el
error Tipo I, de tal forma que el poder
de detección de los diagramas puede ser
mejorado mientras la tasa de falsa alarma
se mantiene a un nivel manejable.
Por otro lado, cualquier tipo de carta
de control debe de cumplir al menos
las siguientes cuatro condiciones: 1)
Una sola repuesta a la pregunta ¿está el
proceso bajo control?, 2) Especicación
del error tipo I global, 3) Se deben
tomar en cuenta la relación entre las
características a controlar, y 4) Se debe dar
un procedimiento que permita responder
la pregunta: Si el proceso está fuera de
control ¿cuál es la causa? (Maravelakis et
al., 2002 e ISO 7870- 2, 2013).
En este trabajo, se utilizan datos
de pesos de café en latas envasadas de
la empresa “Central de Cooperativas
Agrarias Cafetal Eras Cocla Ltda.”
ubicada en la Provincia Constitucional
del Callao.
Materiales y Métodos
La investigación se aplicó en la empresa
“Central de Cooperativas Agrarias
Cafetal Eras Cocla Ltda.” ubicada en la
Provincia Constitucional del Callao. La
información utilizada se recolectó en
el proceso de envasado. Se tomaron 26
muestras, cada una con tres observaciones
correspondientes a los pesos del producto
café en sachets (200 g).
Equipos y materiales
Los datos fueron recolectados
empleando equipos calibrados: balanza
de precisión marca Ohaus Serie Explorer
Pro, cronómetro marca RadioShack y
un formato para recolección de datos.
Softwares: “Minitab” versión 18 y “R”
versión 3.5.2.
Recolección de datos
La recolección de datos en la máquina
envasadora Form Fill Seal Machine
Modelo GL-250 para el producto café
en sachets “Cafetal 200 g” se realizó
a través de la toma de 26 muestras de
tamaño 3 cada 10 minutos en el proceso
de envasado en planta. La especicación
establecida por el productor fue de 200
± 2 g.
Diagrama de control de Shewhart
El diagrama de control para medias
de procesos tiene como objetivos
C G C. - V P O - M B
353
| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
observar y analizar mediante el uso de
datos estadísticos la variabilidad del
proceso de interés a través del tiempo,
(Gutiérrez y De la Vara, 2004) y mostrar
las uctuaciones de las medias muestrales
que se presentan dentro de estos límites.
Si las medias muestrales caen dentro de
los límites establecidos para un proceso
(rango de aceptación), se dice que la
variación que presenta el proceso solo es
aleatoria. Pero si las medias muestrales
exceden el límite superior de control
(LSC) o bien, caen por debajo del límite
inferior de control (LIC), entonces el
proceso de producción o un servicio está
fuera de control, y deberá corregirse.
Montgomery D. (2014), presenta las
ecuaciones de las grácas de control de
Shewart para variabilidad (o amplitud) y
la media:
; ;
Límite de control para la media:
; ;
Wu, Z. y Wang, QN. (1996),
presentan la metodología Bootstrap para
determinar grácos de control cuando
no se está seguro de la normalidad y
muestras de tamaño menor a cuatro,
como se detalla a continuación:
Método Bootstrap
Para realizar la inferencia probabilística
sobre cierto parámetro q de interés. Para
ello, se toma una muestra X =
(x
1
,x
2
,x
3
...
x
n
) de tamaño n de una población
empírica con distribución F.
Esta metodología considera los
siguientes pasos:
• Construir una distribución de
probabilidad empírica,
( )
XF
ˆ
a
partir de la muestra asignando una
probabilidad de 1/n a cada punto,
x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
. Esta es la función de
distribución empírica (FDE) de X, la
cual es el estimador no-paramétrico de
máxima verosimilitud de la función
de distribución de la población, F(X).
• A partir de la FDE,
( )
XF
ˆ
, se
seleccionan B muestras aleatorias
simples “con reemplazo “de tamaño n
• Con los datos de cada una de las B
muestras se calculan promedios:
*
i
x
y
los rangos Ri, donde i = 1,2, …, B. La
distribución de esos B valores se llama
distribución empírica de Bootstrap.
• Usando la lista de B-promedios se
calculan los límites de control con los
métodos de aproximación a la normal
y percentil respectivamente.
Construcción del diagrama de control
del rango R
Los límites Bootstrap del gráco del
rango R se denen según las ecuaciones:
El promedio de las amplitudes de las T
muestras Bootstrap se obtiene siguiendo:
Donde
*
ˆ
R
σ
es el error estándar
Bootstrap calculado de la distribución
muestral del
Rango
( )
**
ˆ
, RFR
n
Construcción del diagrama de control
del promedio
X
El promedio de las T medias Bootstrap
se obtiene siguiendo:
Los límites Bootstrap del diagrama
del promedio
X
se denen según las
ecuaciones:
3
LCL D R
=
LC R
=
4
UCL D R
=
2
LCL x A R= −
LC x=
2
UCL x A R= +
*
*
ˆ
3
R
LCL R
σ
= −
*
*
ˆ
3
R
UCL R
σ
= +
T
RRR
R
T
**
2
*
1
*
... +++
=
T
XXX
X
T
**
2
*
1
*
... +++
=
apliCaCión dE la mEtodoloGía no paramétriCa bootstrap En El Control dE Calidad dEl proCEso dE
Envasado dEl Café
354
| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
Donde: es el error estándar Bootstrap
calculado de la distribución
muestral de la Media.
Construcción de los límites de control
Bootstrap por el método percentil
A continuación, se describe la
construcción de diagramas de control de
variables para muestras de tamaño “n”
menores o iguales a tres, propuesto por
Wu y Wang (1996).
Construcción del diagrama de control
del rango R:
Sea
**
2
*
1
,...,,
T
RRR , la distribución
Bootstrap de la distribución muestral del
Rango
( )
**
ˆ
, RFR
n
.
El intervalo percentil
α
−1
se dene
con
2/
α
y
2/1
α
−
percentiles de
( )
*
ˆ
RF
.
Donde:
es el
2/100
α
percentil de la
distribución muestral de
*
R
es el
)2/1(100
α
−
percentil de
la distribución muestral de
*
R
Los límites Bootstrap del Gráco del
Rango R, se denen según las ecuaciones:
Construcción del gráco de control del
promedio
X
:
Sea la distribución
Bootstrap de la distribución muestral de
Media
( )
**
ˆ
, XFX
n
.
El intervalo percentil
α
−1
se dene
con
2/
α
y
2/1
α
−
percentiles de
( )
*
ˆ
XF .
Donde:
es el
2/100
α
percentil de la
función de densidad
*
X
.
es el
( )
2/1100
α
−
percentil de
la función de densidad
*
X
.
Los límites Bootstrap del gráco del
promedio
X
, se denen según las
ecuaciones:
Medidas de ecacia de un diagrama de
control
Longitud media de corrida (ARL)
El ARL se dene como el número
promedio de puntos antes de que la
carta de control de una señal de fuera
de control sin que haya ocurrido algún
cambio en el proceso. Es decir, esta señal
de fuera de control se debe solo al azar
del proceso. (Montgomery D., 2004).
Donde:
1 – β es igual a la potencia de
la carta de control, la cual signica
la probabilidad de rechazar
correctamente los puntos que presentan
unacondición fuera de control
**
ˆ
3
X
LCL X
σ
= −
**
ˆ
3
X
UCL X
σ
= +
*
ˆ
X
σ
( )
*
*
ˆ
, XFX
n
[ ]
( )
[
( )
]
αα
−
≈
1**
,,
TTuplo
RRRR
( )
2/*
α
T
R
( )
2/1*
α
−
T
R
( )
2/1*
α
−
=
T
RUCL
( )
2/*
α
T
RLCL =
**
2
*
1
,...,,
T
XXX
[ ]
( ) ( )
[ ]
2/1*2/*
,,
αα
−
≈
TT
uplo
XXXX
( )
2/*
α
T
X
( )
2/1*
α
−
=
T
X
UCL
( )
2/*
α
T
XLCL =
( )
2/1*
α
−
T
X
1
1
ARL
β
=
−
C G C. - V P O - M B
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| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
Resultados y Discusión
Construcción de los diagramas de
control Shewhart
X
y R.
En esta etapa, se construye los
diagramas de control
X
y R para el peso
del producto café Cafetal 200 gramos.
Dos puntos que caen fuera de los límites
de control
2.214
15
=X
y
7.195
24
=X
esto podría deberse a la existencia de
causas atribuibles y que el proceso no es un
sistema de causas constantes de variación.
Se procedió a eliminar las muestras
15
X
y
24
X
para establecer diagramas que se
encuentren bajo control. En la Tabla1 se
muestran los valores de los límites de los
grácos de control de Shewhart para el
promedio (
X
) y rango (R) y en la Figura
1, se observa que todas las muestras
caen dentro de los límites de control con
una variación sostenida, además no hay
señales de patrones no aleatorios, todo
indica que solo existen causas inherentes
al proceso; es decir, causas constantes
productos del azar; por tanto, el proceso
se encuentra en “estado de control.
Tabla 1
Grácos de control Shewhart
X
y R para las medidas del peso de café.
N° de muestras
Promedio Rango
LCL UCL LCL UCL
26 0 14.17 195.9 207.1
Figura 1. Grácos de control Shewhart
X
y R para las medidas del peso de café
Construcción de los límites Bootstrap
para los diagramas
X
y R para 1000 y
10000 muestras Bootstrap del proceso
de envasado de sachets de café de 200 g
En esta etapa, se tomó en cuenta que
la muestra de donde se extrajeron las
muestras Bootstrap no presentó puntos
discordantes u outsiders ya que estos
pudieran ser perpetuados, ocasionando
una distorsión en la estimación Bootstrap
de la distribución muestral.
A partir de datos de remuestreo se
obtuvo la estadística descriptiva para el
rango y para el promedio.
apliCaCión dE la mEtodoloGía no paramétriCa bootstrap En El Control dE Calidad dEl proCEso dE
Envasado dEl Café
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| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
Test de Normalidad, Estadística
Descriptiva e intervalos para el rango
en el Método Bootstrap
Se realizó el test de normalidad y
el análisis descriptivo para las 1000 y
10000 muestras Bootstrap de tamaño 3.
La Figura 2 representa grácamente el
test de normalidad de los rangos de los
pesos. Se observa que la distribución de
los datos presenta un comportamiento
aproximadamente normal, esto se
verica con la prueba de normalidad de
Shapiro Wilk al obtener un p-value de
0.193, superior al nivel de signicancia
del 0.05, con lo cual se concluye que no
existe suciente evidencia estadística para
rechazar la hipótesis de que los rangos de
los pesos de las 1000 muestras Bootstrap
de 200 g se ajustan a una distribución
normal. En la Tabla 2 se presenta los
resultados de la estadística descriptiva
aplicada a las muestras Bootstrap de
sachets de café de 200 g.
Tabla 2
Estadística Descriptiva de los rangos de los pesos Bootstrap de sachets de café
N° de
muestras
Mín Q1 Promedio Q3 Max S CV
(g) (g) (g) (g) (g) (g) (%)
1000 0.1 3.5 5.5745 7.8 12.1 2.6 47
10000 0 3.8 5.7671 7.8 5.767 2.58 45
Según el grado de dispersión, los datos
presentados no son muy homogéneos de
acuerdo con el coeciente de variabilidad
obtenido de 46.8 %. Los resultados
muestran que hay cierta asimetría en los
datos, las medidas de los rangos de las
muestras Bootstrap varían entre 0.1 y 12.1
g. para simulaciones de 1000 muestras y
es menor para simulaciones de 10 000
muestras entre
0 y 5.8 g.
Obtención de los límites para los
diagramas de control para le media
(
X
)
En la Tabla 3 se presenta los resultados
de la estadística descriptiva aplicada a
las 1000 y 10000 muestras Bootstrap de
sachets de café de 200 g.
Figura 2. Normalidad para el rango del
peso del envasado de 1000 y 10000 sachets
Bootstrap de café de 200 g
Tabla 3
Estadística Descriptiva de los promedios de los de los pesos Bootstrap de sachets café
N° Mín Q1 Promedio Q3 Max S CV
muestras (g) (g) (g) (g) (g) (g) (%)
1000 196.2 200.07 201.48 202.83 206.8 1.98 0.98
10000 195.43 200.13 201.48 202.83 206.6 1.9 0.94
C G C. - V P O - M B
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| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
En la Tabla 3, se observa un pequeño
cambio en el promedio de los pesos, los
datos presentados son muy homogéneos
de acuerdo con el coeciente de
variabilidad obtenido de 0.98 % y 0.94
% respectivamente. Los resultados
muestran que hay cierta asimetría en los
datos, las medidas de los rangos de las
muestras Bootstrap varían entre 196.20
y 206.8 g. para simulaciones de 1000
muestras y es mayor para simulaciones de
10 000 muestras entre 195.43 y 206.6 g.
En la Tabla 4, presenta los límites de
control
X
y R de la simulación de 1000
y 10000 muestras Bootstrap de tamaño
n=3, con media 0 y desviación estándar 1
de una distribución normal.
Tabla 4
Límites de control del rango y promedio Bootstrap y Shewhart
Shewhart
Bootstrap T =1000 Bootstrap T =10000
Normal Percentil Normal Percentil
0
0
13.39
195.54
207.42
0.1 0 0.1
14.16 12.1 13.49 11.8
195.87 196.57 195.8 196.57
207.13 206.73 207.2 206.27
R
LCL
R
UCL
x
LCL
x
UCL
Según el grado de dispersión, los datos
presentados son muy homogéneos de
acuerdo con el coeciente de variabilidad
obtenido de 1.0 %. La comparación de
los intervalos grácos de control Normal
.Bootstrap, el percentil Bootstrap y
Shewhart se representa en las Figuras 5a
y 5b con la simulación de 1000 y 10000
muestras. Se observa que la forma de la
distribución de las medias de los pesos de
las 1000 muestras Bootstrap de sachets de
café de 200 g es moderadamente asimétrica
hacia la derecha de acuerdo con lo señalado
por la ISO (1976). Esto implica que la
máquina envasadora se encuentra sobre-
dosicando el café en los sachets de 200 g.
Figura 5a. Histograma de la media del peso
de 1000 muestras Bootstrap de sachets de café
Figura 5b. Histograma de la media del peso de
10000 muestras Bootstrap de sachets de café
Medidas de ecacia de un diagrama de
control
Para medir la eciencia de los grácos de
control se calcula la longitud promedio
de corrida (ARL).
apliCaCión dE la mEtodoloGía no paramétriCa bootstrap En El Control dE Calidad dEl proCEso dE
Envasado dEl Café
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| C | V. XXV | N. 30 | - | 2020 | | ISSN (): - | ISSN ( ): - |
Tabla 5
ARL para la media del Proceso Ho: μ = 201.5; H1: μ ≠ 201.5
Valores de la
media
Shewhart
Bootstrap T =1000 Bootstrap T =10000
Normal Percentil Normal Percentil
201.5 370.34 370.19 95.50 370.38 92.88
201.8 328.52 327.68 95.50 329.43 81.29
202.1 242.24 245.84 81.67 244.37 62.72
202.4 163.65 170.00 62.77 166.11 45.49
202.7 108.02 114.73 45.86 110.22 32.4
203.0 71.70 77.64 33.03 73.48 23.19
203.3 48.40 53.28 23.91 49.77 16.84
203.6 33.34 37.21 17.55 34.38 12.45
203.0 71.70 77.64 33.03 73.48 23.19
203.3 48.40 53.28 23.91 49.77 16.84
203.6 33.34 37.21 17.55 34.38 12.45
Conclusiones
La metodología Bootstrap en la
construcción de límites de control
promedio-rango proporcionó límites
de control más ajustados que los límites
Shewhart, cuando se aumenta el número
de simulaciones de 1000 a 10000
muestras T, incrementando la eciencia.
Los límites Bootstrap percentil tienden
a ser más estrechos con respecto a los
límites de control de promedio - rango
de Shewhart. Se puede armar, que la
aplicación de la metodología Bootstrap
permite obtener límites más ajustados
e incrementar el poder de detección de
los diagramas
X
y R, así como, detectar
cambios que se producen en el proceso.
Por esta razón, se recomienda emplear
los límites Bootstrap percentil cuando la
población de donde procede la muestra
tiene una distribución desconocida o
cuando su distribución no se ajusta a la
forma normal.
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Envasado dEl Café
