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La experiencia de la construcción de modelos
matemáticos aplicado ala ecología: Implementando
simulaciones computacionales como punto de inicio
resumen
Una de las ciencias más signicativas de poder abstraer el
mundo donde vivimos es la matemática; y con las matemáticas
se puede construir modelos. Los modelos matemáticos
permiten analizar y proyectar la dinámica del fenómeno que
estamos estudiando. En este sentido, la ecología matemática
ha aportado enormemente al estudio de la dinámica de las
especies, y esta importancia es vital para los estudiantes de
ciencias de la vida. La modelización computacional enseña de
manera dinámica y didáctica la construcción de propuestas
para luego estudiarlas de manera matemática. Este proceso
permite complementar un análisis matemático y una
construcción informática donde el estudiante aborda, desde
la creatividad diferentes formas de modelar un problema
ecológico que puede extenderlo a la epidemiología de una
manera intuitiva, pero con fundamento cientíco para poder
seguir abstrayendo los fenómenos de la vida real.
Palabras clave: Modelización matemática, Ecología
matemática, Sistemas de ecuaciones diferenciales, Simulación
computacional
absTrac T
One of the most signicant sciences to be able to abstract the
world where we live is mathematics; and with mathematics you
can build models. Mathematical models allow us to analyze and
project the dynamics of the phenomenon we are studying. In
this sense, mathematical ecology has contributed enormously
to the study of the dynamics of species, and this importance
is vital for students of life sciences. Computational modeling
teaches in a dynamic and didactic way the construction of
proposals and then study them mathematically. is process
allows to complement a mathematical analysis and a computer
construction where the student approaches, from creativity,
dierent ways of modeling an ecological problem that can
be extended to epidemiology in an intuitive way, but with
scientic foundation to be able to continue abstracting the
phenomena of life real.
Keywords: Mathematical modeling, Mathematical ecology,
Systems of dierential equations, Computational simulation
e experience of building mathematical models applied to ecology:
Implementing computer simulations as a starting point
Recibido: marzo 21 de 2022 | Revisado: mayo 01 de 2022 | Aceptado: mayo 20 de 2022
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C M A
1 Universidad Peruana Cayetano Heredia,
Lima-Perú
2 Universidad Nacional Mayor de San
Marcos, Lima - Perú
3 Universidad José María Arguedas, Perú
Autor para correspondencia neisser.pino@
upch.pe
© Los autores. Este artículo es publicado por la Revista Campus de la Facultad de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad
de San Martín de Porres. Este artículo se distribuye en los términos de la Licencia Creative Commons Atribución No-comercial
– Compartir-Igual 4.0 Internacional (https://creativecommons.org/licenses/ CC-BY), que permite el uso no comercial,
distribución y reproducción en cualquier medio siempre que la obra original sea debidamente citada. Para uso comercial
contactar a: revistacampus@usmp.pe.
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https://doi.org/10.24265/campus.2022.v27n33.09
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Introducción
Durante la formación académica
universitaria siempre ha surgido una
pregunta interesante que viene a ser: ¿de
qué sirve la matemática en mi formación,
en mi carrera? Esta pregunta ha nacido
durante varias inducciones académicas por
parte de los estudiantes que dentro de poco
tiempo iniciarán su formación académica
dentro de la universidad (Godino,
2010). Momentos de interacción donde
se generan preguntas: de cómo se debe
realizar una correcta adecuación de los
cursos formativos y de especialidad dentro
de una carrera de ciencias viene a ser un
baluarte de la enseñanza (Álvarez, 2008).
Muchos estudiantes cuando llegan a
un momento requieren formalidades e
ideas matemáticas para poder realizar un
modelo o al menos comprender el modelo
que se le propone. Y estos conocimientos
tienden a complicar la enseñanza, pero es
necesario dedicar un tiempo adecuado al
curso de matemática tanto en su forma
aplicada como teórica (Font et al., 2014).
Por lo cual, durante varias actividades en
grupos donde participan estudiantes de
pregrado, posgrado y profesores se pudo
recolectar datos sobre su apreciación
de las actividades académicas donde se
imparten el tema del modelamiento
matemático aplicado a la vida (ecología),
con un énfasis en la implementación
computacional debido que una
motivación importante es la generación
de visualización de la evolución de la
población considerada, y cómo el cambio
de los valores numéricos que se considera
afecta en la simulación computacional
(Liljedahl et al, 2011).
Desde esta perspectiva, se introduce
algunas preguntas reexivas de
cómo el modelamiento matemático
y computacional, desde estudiantes
de pregrado hasta docentes, aporta
conocimientos sólidos para una formación
académica enfocada a la investigación en
un área de la ciencia (Malaspina, 2007;
Sánchez y Roque, 2011). Por lo cual, en los
conocimientos teóricos de la matemática
se recurrieron a las ecuaciones diferenciales
ordinarias para poder construir y analizar
los modelos matemáticos (Murray, 2001).
Esta herramienta es didáctica y pedagógica
ya que ayuda a introducir el modelamiento
matemático de una forma más tangible al
momento de explicar los términos, más
aún, cuando se asocia las dinámicas de
las variables que conciernen al problema
que se desea modelar. Un detalle a señalar
aquí es la concepción de conocimientos
básicos e intuitivos para la construcción
de un modelo matemático básico (Pino y
Acasiete, 2018).
Método
En muchas de las situaciones de
la vida real, nos plantean cómo se
debe estudiarlas para poder proponer
soluciones de tal manera que ayuden
a la sociedad en su progreso mediante
la ciencia, de manera especíca en la
enseñanza de la ciencia (Liljedahl et
al, 2011). Algo que caracteriza a los
estudiantes de pregrado, de los primeros
años, es la creatividad y la noción de
plantear ideas curiosas que quizás
no se puedan formalizar, pero guían
senderos de investigación (Brito-Vallina,
2011). Por consiguiente, es labor de
los profesores que puedan apoyarlos
a consolidar las ideas para poder
complementarse la noción cientíca en
una sinergia que generará en un mañana
un proyecto de investigación (Pino y
Acasiete, 2018).
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En la actualidad, donde los trabajos
de investigación son colaborativos
con personas de diferentes áreas de la
ciencia, sin olvidar que de esta manera se
fomenta la investigación como soporte
al crecimiento académico y cientíco
(Font et al., 2014). Estas actividades en
muchos lugares y con similares enfoques
se realizan en diferentes universidades de
todo el mundo que buscan la divulgación
de la ciencia (Álvarez, 2008).
Tales diligencias académicas se han
fomentado de manera virtual por la
pandemia que se afronta, actualmente
donde el distanciamiento social no ha
disminuido la actividad académica-
cientíca sino más bien ha incrementado,
donde se ha complementado para buscar
formas de aportar para afrontar la
propagación del virus, sino también las
metodologías de cómo se pueden impartir
en este tiempo difícil (Cabezas, 2020).
Figura 1
Diagrama para la formulación de un modelo matemático
Nota. Soo Tang (2019)
En la Figura 1, mostramos la secuencia
que se sigue para la construcción de un
modelo matemático, y cómo surgen las
interrogantes a n de implementar las
respectivas ecuaciones, y es donde la
interacción entre estudiantes y profesores
para poder conceptualizar un modelo
matemático adecuado (Pino y Salazar,
2022). Obtener desde ideas básicas pero
notables para fomentar el crecimiento
personal y académico de cada estudiante
con una implementación de nuevas
formas de crear conocimiento para un
objetivo académico (Pino, 2017). Por
lo cual, como menciona Hernández
et al. (1991) siempre será necesario
medir los datos recolectados mediante
alguna evidencia cuanticable para
poder realizar un análisis adecuado de
que la intervención académica realizada
ha cambiado en la perspectiva de la
enseñanza de matemática, más aun, de
la importancia de la transmisión del
modelamiento matemático.
Dinámica de la presentación a la
introducción al modelamiento
matemático
Pedagógicamente, el modelamiento
matemático puede aplicar diversas
herramientas tanto para la ciencia
como para la ingeniería. En la actividad
académica realizada, lo enfocamos a la
ecología matemática (Murray, 2001).
Donde aplicamos la introducción al
modelo matemático de Lotka-Volterra
donde se considera dos especies
(depredador-presa) para analizar la
dinámica poblacional (Pino y Salazar,
2022). Pero siempre hay que empezar
desde una concepción que se pueda
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observar e imaginar de cómo sería el
sistema que se debe construir, este detalle
lo marcaron los estudiantes de pregrado
que comenzaron a mencionar especies
tras especies, y comentar sobre sus
características de una forma intuitiva para
acabar en una construcción formal.
Esta dinámica fue menos atractiva
por los docentes, pero fue un estímulo
escuchar a los estudiantes decirlas como
una idea que susurra en la mente para
ser escuchada y analizada. No hay duda
que la metodología de construcción de
un modelo matemático siempre será de
manera formativa y llena de debate para
contrastar ideas sobre la problemática
estudiada y como se formaliza
matemáticamente (Brito-Vallina et al.,
2011).
Figura 2
Ecosistema de especies (Cadena alimenticia).
La Figura 2 nos presenta una
concepción visual de la dinámica de la
cadena alimenticia que se presenta en
un ecosistema. Donde la explicación
de la interacción de las especies se
expresa en el lenguaje matemático
como la interacción de dos especies
que se representa con el producto de
las dos variables con un parámetro
(tasa ecológica), la reproducción y la
mortalidad es la multiplicación del
parámetro con la variable considerada
(Murray, 2001). Estos términos aportan
la creatividad de aumentar términos y
especies dentro del ecosistema modelo.
En este sentido, la interacción estudiante
y profesor fue importante para generar
una sinergia invaluable entre la intuición
y la formalidad en búsqueda de iniciar un
proyecto de investigación en el área de la
ecología matemática, o al menos con la
intención de iniciarse en el modelamiento
matemático (Font et al., 2014).
En circunstancias motivadoras, se
impulsan a abrir el pensamiento y la idea
para generar modelos, se comenta sobre
diferentes modelos que incluyen especies
diferentes, pero ecuaciones similares
(Álvarez, 2008). Con lo cual, la abstracción
de las hipótesis y las interpretaciones
pueden ser otras pero los términos
matemáticos similares (Sánchez y Roque,
2011). En la Figura 3 se presenta un
ecosistema de otro ámbito biológico donde
se puede aplicar con mucho entusiasmo a
generar situaciones externas o aplicaciones
reales de impacto social (Murray, 2001).
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Figura 3
Ecosistema de especies marítimas (Cadena alimenticia)
Implementación computacional como
introducción a un modelamiento
dinámico
La computación ha apoyado
enormemente a la generación de
grácas que permiten visualizar el
comportamiento en el tiempo de los
modelos. Actualmente, hay muchos
programas computacionales para realizar
la representación de las simulaciones
de los modelos. La experiencia de las
actividades académicas mediante las
escuelas de modelamiento en diversas
universidades (2021) nos ayudó a
comprender que el proceso de instalación
y actualización del software complica su
utilización. Un recurso informático de
mucha utilidad es la programación en
la nube, con lenguajes de programación
dinámicos y didácticos como viene a
ser el RStudio Cloud y el Colab Python
(Canesche et al., 2021).
La utilización del Colab Python
nos permitió una generación dinámica
y aprehensiva para los estudiantes y
profesores, debido a que este lenguaje de
programación mediante su compilador
“Jupyter” permite la introducción de
texto y de código diferenciado, con lo
cual la explicación de la teoría matemática
y los comentarios computacionales se
hacen muy adecuados para comprender
la codicación y las referencias de
programación estructurada (Pino y
Salazar, 2022).
Figura 4
Código computacional Colab Python.
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Uno de los resultados más interesantes
de la sinergia entre estudiantes y profesores
puede ser la creatividad de implementar
códigos computacionales con mayor
facilidad, siguiendo la lógica básica enseñada
en los talleres (Liljedahl et al, 2011).
Esto genera un complemento fantástico
de promover porque la ciencia busca el
sendero entre la juventud y la experiencia
de los mayores, donde el aprendizaje entre
los dos genera el interés por la ciencia y la
investigación (Canesche et al., 2021).
Perturbación del modelo básico Lotka-
Volterra como experiencia real de
modelaje
Un resultado efectivo de la enseñanza
es la interiorización del conocimiento y la
reexión del mismo para poder analizar la
situación. Todo esto permite obtener una
aprehensión del aprendizaje que ayude al
crecimiento académico. La didáctica de
transmitir matemática y más aún cuando
se intenta modelar matemáticamente un
problema de la vida real donde la variable
independiente es el tiempo tiende a ser
complicado de abstraer desde un primer
momento (Sánchez y Roque, 2011).
Pero ante la interacción de colores y
representaciones básicas con una forma
pedagógica para impulsar la construcción
viene a ser el punto clave de un modelo
matemático desde su concepción
con las hipótesis consideradas como
también con sus modicaciones dentro
de una didáctica de introducción al
modelamiento matemático (Murray,
2001). Y así, construir paulatinamente un
modelo más complejo donde contenga
más hipótesis que se vaya acercando a la
realidad del problema.
Durante cuatro actividades realizadas
en diferentes universidades para
diferentes carreras profesionales, se
puede encontrar una situación similar
entre profesores y estudiantes. Donde
la apertura de construcción de modelos
matemáticos y su implementación
computacional es importante para un
complemento académico necesario
para profundizar la motivación de los
participantes (estudiantes y profesores) y
así generar más expectativa de este tema
(Salas, 2018). Estas actividades son de
participación libre sin ninguna obligación
académica por parte de la facultad,
esto ayuda a tener predisposición de
aprender cómo se puede introducir al
modelamiento matemático para buscar y
resolver algún problema de la vida real y
además el proceso de construcción de un
algoritmo computacional como también
una secuencia de hipótesis para el modelo
(Pino y Salazar, 2022).
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Figura 5
Explicación de la representación matemática de las hipótesis del modelo matemático Lotka-
Volterra
En la Figura 5 se presenta el enunciado
de las hipótesis del modelo de Lotka-
Volterra que está representado con colores
resaltando su interpretación de cada
término donde se acoplará en un sistema
de ecuaciones diferenciales ordinarias.
En la Figura 6, mostramos el clásico
modelo depredador-presa básico donde
se tiene la simulación computacional que
presenta un comportamiento oscilatorio
en el cual está presente la convivencia
de las dos especies y es la situación
que se encuentra en la naturaleza.
Esta demostración permite ahondar la
creatividad y la noción de mejorar el
modelo de tal forma que se pueda acercar
más a la realidad que se está modelando
(Pino y Salazar, 2022).
Figura 6
Exposición del Modelo matemático Lotka-Volterra y simulación computacional
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Una de las anécdotas que siempre ha
sucedido en la exposición de la simulación
computacional viene a ser la mezcla entre
zorros y linces (depredadores del conejo)
donde uno comienza a modelar con las
especies de zorros pero para la simulación
se introduce los linces, y esto se explica
que debido que se tiene los datos de
los linces, según el reporte canadiense
(1895-1925) realizado por Hudson Bay
Company, nos permite simular mejor
el modelo matemático debido que se
tiene datos reales para poder validar el
modelo; pero por otro lado, el modelo
matemático en su esencia considera
una especie depredadora del conejo
(presa) y no importa que animal sea la
depredadora siempre y cuando sea una
especie depredadora (Murray, 2001).
Este detalle dinámico permite la
generación de una apertura a ver más
especies para el modelo. Sin lugar a
duda, el compartir de las experiencias de
como estudiantes quieren armar modelos
matemáticos de una manera intuitiva
como también profesores analizar las
formalizaciones matemáticas del sistema
de ecuaciones diferenciales (Canesche et
al., 2021). Este complemento es uno de
los pilares de la investigación cientíca
donde la sinergia de los conocimientos
y las experiencias crean proyectos de
investigación (Pino y Acasiete, 2018).
Experiencias y conclusiones de los
participantes de la actividad académica
Durante muchas de las actividades
realizadas que han sido focalizadas al
modelamiento matemático mediante
ecuaciones diferenciales ordinarias han
sido de un enorme aprendizaje sobre la
didáctica de complementar la interacción
y la abstracción para generar nuevas
propuestas de modelos matemáticos
(Godino, 2010).
En este lineamiento muchos de
los profesores mayores de matemática
han tenido una formación teórica sin
mucha aplicación en ciencias de la vida,
por mientras que los estudiantes van
aprendiendo los cursos de pregrado con
la formalidad necesaria para analizar una
función y con modelos matemáticos
sencillos mediante funciones ya
denidas; pero poco de cómo generar un
modelo matemático como una propuesta
para resolver un problema en especíco
(Malaspina, 2007). Por lo cual, en esta
actividad se ha podido experimentar el
complemento de dos generaciones que
pueden trabajar para generar ciencia en
las universidades peruanas desde una
actividad sencilla y motivadora dándoles
herramientas accesibles sin mucha
inversión económica (Brito-Vallina et al.,
2011).
La actividad realizada mediante
forma presencial (antes de la pandemia)
y de forma virtual (durante la pandemia)
ha generado diversas experiencias e
implicancias debido a la cercanía de
los participantes mediante los grupos
de trabajo. Pero fuera de la lejanía
geográca no ha quitado el interés
y la participación de los profesores
por la investigación, sino que han
incrementado su motivación de aprender
más sobre la tecnología; como también
de los estudiantes que se han introducido
a la programación computacional que
vienen a ser un centro muy demandado
en el campo laboral como cientíco
que requiere conocimientos y técnicas
para la resolución de problemas (Salas,
2018).
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Los detalles sobre el impacto presencial
y el impacto virtual siempre se han ido
manejando como una alternativa nueva
que se va cimentando en la mentalidad
de las personas (Godino, 2010). Para
el modelamiento matemático ayuda la
cercanía de la exposición de las ideas
frente a una pizarra que se vea plasmado
las consideraciones tiene un soporte
fundamental en la visualización de nuevas
ideas de perturbación del modelo básico;
esto permite la contrastación y debate de
las ideas sobre los términos del sistema de
ecuaciones (Pino y Salazar, 2022).
Por otro lado, la virtualidad ayudó
en la masicación de la participación
en las actividades académicas que no se
podía en la presencialidad debido al aforo
geográco. Muchas de las herramientas
informáticas aportaron para implementar
nuevas perspectivas de transmisión
y promoción del conocimiento y de
la investigación, más aun, cuando la
ciencia no podía parar en tiempos de
incertidumbre (García y Conde, 2017).
Para nalizar, los comentarios y las
conclusiones de cada participante que
se recogieron mediante una encuesta
anónima fueron muy graticantes para ir
corrigiendo errores y mejorando con cada
actividad académica donde lo que más
resaltaba era la apertura y la organización
de las dinámicas para interactuar y
compartir los conocimientos (Salas,
2018).
Un impulso enorme para conocer
aplicaciones dinámicas e interactivas
con la vida real tanto los profesores
participantes como los estudiantes.
Viendo nuevos horizontes de seguir una
formación cientíca al servicio de la
sociedad.
Discusión
La investigación sobre cómo se debe
realizar una adecuada divulgación
cientíca durante la pandemia ha
sido motivo de organizar y realizar
actividades académicas para poder
introducir a las personas, especialmente
a los más jóvenes, a la ciencia y que
es necesario para el crecimiento de la
sociedad (Brito-Vallina et al., 2011). Por
lo cual, hay mucho por crecer de forma
académica y cientíca para promover
el incremento de las actividades donde
se promueva la matemática como una
ciencia que aporta enormemente la
sociedad y poco a poco vaya dejando
la concepción de solamente se hace
operaciones en los cursos de matemática.
Siempre la promoción de la ciencia
será un baluarte para que la sociedad
siga comprometiéndose con su propio
crecimiento e integración de cada
ciudadano (García y Conde, 2017).
Conclusiones
Por consiguiente, se puede concluir
que la promoción del modelamiento
matemático con un enfoque en el trabajo
complementario de estudiantes de
pregrado con los docentes puede generar
trabajos de investigación con aplicaciones
interesantes de crecimiento académico.
Así mismo, el complemento de
una introducción al modelamiento
matemático y computacional con un
trabajo colaborativo de diferentes áreas
siempre será un trabajo oportuno,
aunque en muchos casos difícil por
las diferentes perspectivas que la
programación en la nube (Colab Python
o RStudio Cloud) permiten poder
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realizar trabajos colaborativos a distancia
donde las generaciones académicas
pueden converger para formar un trabajo
colaborativo importante.
Por tanto, el modelamiento
matemático orientado a las ciencias de la
vida (ecología, epidemiología matemática)
puede ser un punto de inicio sencillo y
motivador donde la construcción de
modelos se torna un eje importante para
el crecimiento académico y cientíco
entre lo teórico y lo aplicado. Finalmente,
la promoción de actividades académicas-
cientícas durante la pandemia abrió
posibilidades de conexiones amplias
debido a la virtualidad, pero también
una mayor disposición y manejo de las
herramientas informáticas para generar
un entorno adecuado de aprendizaje.
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